Question

Вероятность изготовления изделия с браком равна 0,4. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0,96, а в случае, если изделие с дефектом – с вероятностью 0,05. Определить, какова вероятность того, что изделие, выдержавшее проверку, бракованное.

Answer 1

Ответ: ≈0,034

Пошаговое объяснение:

Задача решается по формуле Байеса. Пусть событие А заключается в том, что изделие выдержало проверку. Это событие может произойти только совместно с одним из двух событий, называемых гипотезами:

H1 - изделие бракованное;

H2 - изделие не бракованное.

Нам нужно найти вероятность P(H1/A). По формуле Байеса, P(H1/A)=P(H1)*P(A/H1)/P(A). По формуле полной вероятности, P(A)=P(H1)*P(A/H1)+P(H2)*P(A/H2). Но P(H1)=0,4; P(H2)=1-0,4=0,6; P(A/H1)=0,05; P(A/H2)=0,96. Отсюда P(A)=0,4*0,05+0,6*0,96=0,596 и тогда P(H1/A)=0,4*0,05/0,596≈0,034.  

Answer 2

Давайте обозначим события:

- A: изделие бракованное - B: изделие прошло проверку

По условию задачи у нас есть следующие вероятности:

1. P(A) = 0,4 - вероятность того, что изделие бракованное. 2. P(B|A) = 0,05 - вероятность того, что изделие с браком проходит проверку. 3. P(B|¬A) = 0,96 - вероятность того, что изделие без брака проходит проверку.

Мы хотим найти вероятность того, что изделие бракованное, при условии, что оно прошло проверку, т.е. нам нужно найти P(A|B).

Используем формулу условной вероятности:

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Где:

\[ P(A \cap B) \] - вероятность того, что изделие бракованное и прошло проверку. \[ P(B) \] - вероятность того, что изделие прошло проверку.

Теперь выразим \( P(A \cap B) \):

\[ P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) \]

Подставим значения:

\[ P(A \cap B) = 0,05 \cdot 0,4 \]

Теперь выразим \( P(B) \):

\[ P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|¬A) \cdot P(¬A) \]

где \( P(¬A) \) - вероятность того, что изделие без брака.

\[ P(B) = 0,05 \cdot 0,4 + 0,96 \cdot (1 - 0,4) \]

Теперь можем вычислить \( P(A|B) \):

\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Подставим значения:

\[ P(A|B) = \frac{0,05 \cdot 0,4}{0,05 \cdot 0,4 + 0,96 \cdot (1 - 0,4)} \]

Решив эту задачу, вы получите вероятность того, что изделие, прошедшее проверку, бракованное.