Question

Решить уравнение sin(x-п/3)=sinx

Answer 1

Sinx-sin(x-π/3)=0
2sinπ/6cos(x-π/6)=0
cos(x-π/6)=0
x-π/6=π/2+πn
x=π/6+π/2+πn
x=2π/3+πm

Answer 2

Чтобы решить уравнение \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(x) \), давайте воспользуемся тригонометрическим тождеством:

\[ \sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \]

Применяя это тождество к нашему уравнению, получаем:

\[ \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin x \cos(\frac{\pi}{3}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{3}) \]

Так как \( \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \) и \( \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), мы можем заменить их в уравнении:

\[ \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (\(x\)). Давайте преобразим его:

\[ \frac{1}{2} \sin x - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x = \sin x \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 2 \sin x \]

Теперь перенесем все члены синуса на одну сторону, а члены косинуса на другую:

\[ \sin x - 2 \sin x = \sqrt{3} \cos x \]

\[ -\sin x = \sqrt{3} \cos x \]

Теперь разделим обе стороны на \(-\sin x\) (при условии, что \(\sin x \neq 0\)), чтобы избавиться от знака минус:

\[ 1 = -\sqrt{3} \cot x \]

Теперь найдем \(\cot x\):

\[ \cot x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \]

\[ \cot x = -\frac{\sqrt{3}}{3} \]

Так как \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \), давайте заметим, что \(\cot(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), и у нас есть \(-\frac{\sqrt{3}}{3}\). Таким образом, мы можем записать:

\[ x = \frac{\pi}{6} + n\pi \]

где \(n\) - целое число. Это общее решение уравнения \( \sin(x - \frac{\pi}{3}) = \sin(x) \).