Question

Задача 2. Несократимая дробь Из дроби 1234567888…887654321/12345678999…9987654321 получите несократимую дробь AB с положительными числителем и знаменателем, если цифра 8 в числителе встречается 2017 раз, а цифра 9 в знаменателе — 2016 раз. В ответе укажите число A+B.

Answer 1

Чтобы понять задачу, рассмотрим не такие длинные числа. Допустим, возьмём в числителе не 2017 цифр 8, а всего 3; а в знаменателе не 2016 цифр 9, а всего 2.
Итак, пусть числитель имеет вид: 12345678887654321 (всего 17 цифр, 3 восьмёрки и 2 раза цифры от 1 до 7).
А знаменатель: 123456789987654321 (всего 18 цифр, 2 девятки и 2 раза цифры от 1 до 8).

Есть такой признак делимости разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.
Найдём и мы разность между знаменателем и числителем:
 123456789987654321
-  12345678887654321
-------------------------------
   111111111100000000

По исходным числам видно, что они не делятся на степени 10. А вот на 10 единиц (1111111111) вполне могут делиться. Но это надо проверить.
123456789987654321 : 1111111111 = 111111111
12345678887654321 : 1111111111 = 11111111
Итак, в числителе остаются 8 единиц, а в знаменателе 9 единиц. Это и будет несократимой дробью.

Вот теперь можно перейти к числам в задании, и провести аналогию. Числитель состоит из 2031 цифр (2017 + 14), а знаменатель из 2032 цифр (2016 + 16). Разность находится легко, там будет 2024 единицы и 8 нулей. Проверить делимость исходных чисел на число из 2024 единиц сложнее. Но чтобы убедиться в этом попробуйте поумножать число из 8 единиц, а затем число из 9 единиц, на числа с разным количеством единиц. И вы постепенно будете приближаться к исходным числам.

Итак, несократимая дробь такая:
 11111111
------------
111111111

Требуемое число А+В = 11111111 + 111111111 = 122222222