Question

Дано: а^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac Доказать, что: а=b=c

Answer 1

А²+в²+с²=ав+вс+ас.
аа+вв+сс=ав+вс+ас. а=а. в=в. с=с. Следовательно, множители в слагаемых равны.
аа=ав. в=аа/а=а.
вв=вс. с=вв/в=в.
сс=ас. а=сс/с=с.
Значит, в=а=в=с=а=с. в=а=с. Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства а = b = c, мы можем использовать следующий метод:

1. Раскроем каждое слагаемое слева по формуле a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac: a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ac

2. Перегруппируем полученное уравнение: a^2 + b^2 - ab + c^2 - ac - bc = 0

3. Приведем подобные слагаемые: a^2 - ab + b^2 + c^2 - ac - bc = 0

4. Перепишем уравнение: (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + ab) = 0

5. Применим квадратное уравнение (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, (b - c)^2 = b^2 - 2bc + c^2, (c - a)^2 = c^2 - 2ac + ab: (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0

6. Так как квадрат любого числа является неотрицательным, то для получения нуля сумма должна быть равна нулю. Значит, каждый квадратный член должен равняться нулю: (a - b)^2 = 0 => a - b = 0 => a = b (b - c)^2 = 0 => b - c = 0 => b = c (c - a)^2 = 0 => c - a = 0 => c = a

Таким образом, мы получили, что a = b = c, что и требовалось доказать.