Question

Исследуйте на экстремуме f(x) =2x^3+9x^2+12x-2

Answer 1

Экстремум -  в корне первой производной.
ДАНО
Y(x) = 2x³ + 9x² + 12x - 2
Находим производную и её корни
Y'(x) = 6x² + 18x+ 12 = 0
Решаем квадратное уравнение и находим корни.
Экстремумы в токах - х= -1  и х = - 2.
Y(-1) = -7 - максимум
Y(-2) = -6 - минимум 
График функции и её производных -  в приложении.

Answer 2

Для исследования функции на экстремум, необходимо найти ее первую и вторую производные, а затем решить уравнение f′(x)=0, чтобы найти критические точки. Критические точки - это те значения x, в которых функция достигает локального максимума или минимума, или имеет горизонтальную касательную. Для определения характера экстремума, нужно подставить критические точки во вторую производную и проверить ее знак. Если f′′(x)>0, то функция имеет локальный минимум в точке x. Если f′′(x)<0, то функция имеет локальный максимум в точке x. Если f′′(x)=0, то необходимо использовать другие методы, например, знакопеременность первой производной.

Для функции f(x)=2x^3+9x^2+12x-2, найдем ее первую и вторую производные:

f′(x)=6x^2+18x+12

f′′(x)=12x+18

Решим уравнение f′(x)=0:

6x^2+18x+12=0

x^2+3x+2=0

(x+1)(x+2)=0

x=-1 или x=-2

Это критические точки функции. Подставим их во вторую производную:

f′′(-1)=-12+18=6>0

f′′(-2)=-24+18=-6<0

По знаку второй производной, можно сделать вывод, что функция имеет локальный минимум в точке x=-1 и локальный максимум в точке x=-2. Найдем соответствующие значения функции в этих точках:

f(-1)=2(-1)^3+9(-1)^2+12(-1)-2=-5

f(-2)=2(-2)^3+9(-2)^2+12(-2)-2=-8

Таким образом, функция имеет локальный минимум (-1,-5) и локальный максимум (-2,-8).

Для наглядности, можно построить график функции с помощью онлайн калькулятора. На графике видно, что функция имеет два экстремума в точках (-1,-5) и (-2,-8).