Question

Дано: А (2;-1) В( -7;11) С (5;3) Найти: 1. Уравнение стороны СВ 2. уравнение высоты СК 3. Уравнение медианы ВМ 4. Угол С в треугольнике АВС 5. Уравнение линии проходящей через точку В параллельно стороне AC

Answer 1

ВСПОМИНАЕМ
1. Уравнение прямой = Y=kX + b
2. перпендикулярная прямая имеет - k2 = - 1 /k1.
РЕШЕНИЕ
1) Уравнение прямой СВ.
k = dY/dX= (3-11)/(5-(-7)= - 8/12 = -2/3
Значение b находим из уравнения для точки С
Су = k*Cx+b или 
b = Cy - k*Cx = 3 - (-2/3)*5 = 6 1/3
 Окончательно
Y(AB) = -2/3*X + 6 1/3 - ОТВЕТ
или 3*Y = 19-2*X
2) Уравнение высоты СК - перпендикуляра к прямой АВ.
Находим уравнение прямой АВ.
k = -12/9 = - 1 1/3 = - 4/3
b =  -1 - (-4/3)*2 =  1 2/3
Уравнение прямой АВ - Y= -4/3*X+ 1 2/3
Уравнение перпендикуляра - высоты 
k2 = - 1 /k1 = -1/(-4/3)= 3/4
b2 (для точки С) = 3 - 3/4*5 = - 3/4
Окончательно уравнение высоты СК - Y(CK) = 3/4*X - 3/4 - ОТВЕТ.
3) Уравнение медианы ВМ.
Точка М посередине между точками А и С - координаты - среднее значение.
Мх = (5-2)/2 = 3 1/2
Му= (3 - (-1))/2 = 1.
Окончательно - координаты точки М(3,5;1) - проводим прямую ВМ.
Для прямой ВМ
k= (11-1)/(3 - (-7) = -1
b (для точки В) = 11 - (-1)*-7 = 4 1/3
Окончательно - уравнение медианы ВМ - Y= - X+ 4 1/3 - ОТВЕТ

Answer 2

1. Определим уравнение стороны СВ. Для этого построим векторы AB и AC и найдем их координаты:

AB: (x2 - x1, y2 - y1) = (-7 - 2, 11 - (-1)) = (-9, 12) AC: (x3 - x1, y3 - y1) = (5 - 2, 3 - (-1)) = (3, 4)

Затем находим их скалярное произведение:

AB * AC = (-9 * 3) + (12 * 4) = -27 + 48 = 21

Теперь найдем длины сторон AB и AC:

|AB| = √((-9)^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15 |AC| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Уравнение стороны СВ имеет вид:

(AB * AC) / (|AB| * |AC|) = cos(θ)

где θ - угол между векторами AB и AC.

Таким образом, уравнение стороны СВ: (21 / (15 * 5)) = cos(θ)

2. Определим уравнение высоты СК, опущенной из вершины С. Высота СК будет перпендикулярна стороне AB и проходить через вершину С.

Найдем угол между сторонами AB и AC:

cos(θ) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|) cos(θ) = 21 / (15 * 5) θ = arccos(21 / (15 * 5))

Теперь найдем синус и косинус угла θ:

sin(θ) = √(1 - cos^2(θ))

Уравнение высоты СК имеет вид:

y - y1 = k(x - x1)

где k - коэффициент наклона, равный tg(θ).

3. Определим уравнение медианы ВМ, проведенной из вершины В. Медиана ВМ делит сторону СВ пополам и проходит через вершину В.

Координаты середины стороны СВ: ((x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2) = ((2 + 5) / 2, (-1 + 3) / 2) = (7/2, 1)

Уравнение медианы ВМ имеет вид:

y - y1 = k(x - x1)

где k - коэффициент наклона, равный (y2 - y1) / (x2 - x1).

4. Угол С в треугольнике АВС можно найти с помощью теоремы косинусов.

Теорема косинусов: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(С)

Где a = |AC|, b = |BC|, c = |AB|.

Исходя из данных, у нас уже известны длины сторон AB и AC:

|AB| = 15 |AC| = 5

Тогда, подставив в формулу, получим:

c^2 = 15^2 + 5^2 - 2 * 15 * 5 * cos(С) c^2 = 225 + 25 - 150 * cos(С) c^2 = 250 - 150 * cos(С)

5. Уравнение линии, проходящей через точку В параллельно стороне AC. Линия, проходящая через точку В и параллельная стороне AC, будет иметь тот же коэффициент наклона, что и сторона AC.

Коэффициент наклона стороны AC: k = (y3 - y1) / (x3 - x1) = (3 - (-1)) / (5 - 2) = 4 / 3

Теперь, зная коэффициент наклона, можем записать уравнение линии через точку В:

y - y1 = k(x - x1)