Question

Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А f(x)=5/cos^x; A(п/4;2)

Answer 1

Первообразная 5/cos^2x=5tgx+C
y=5tgx+C
2=5tg(p/4)+C
2=5+C
C=-3
значит первообразный график проходящий через А будет
y=5tgx-3

Answer 2

Для нахождения первообразной функции f(x) = 5/cos^x, мы можем использовать метод интегрирования.

Интегрируя данную функцию, мы получим:

F(x) = ∫(5/cos^x) dx

Для решения этого интеграла, мы можем воспользоваться заменой переменной. Заметим, что производная функции cos(x) равна -sin(x).

Положим u = cos(x), тогда du = -sin(x) dx.

Подставим это выражение в интеграл:

F(x) = ∫(5/cos^x) dx = ∫(5/u^x) (-1/u) du = -5 ∫(1/u^x) du.

Теперь, используем свойство степени:

F(x) = -5 ∫(u^(-x)) du.

Мы можем проинтегрировать эту функцию, получая:

F(x) = -5 * (u^(1 - x)) / (1 - x) + C,

где C - произвольная постоянная.

Теперь, заменим обратно u на cos(x):

F(x) = -5 * (cos^(1 - x)) / (1 - x) + C.

Таким образом, первообразная функции f(x) = 5/cos^x, проходящая через точку А (π/4, 2) равна:

F(x) = -5 * (cos^(1 - x)) / (1 - x) + C.

Для нахождения конкретного значения постоянной C, подставим координаты точки А в уравнение:

2 = -5 * (cos^(1 - (π/4))) / (1 - (π/4)) + C.

Теперь, решим это уравнение относительно C и найдем конкретное значение постоянной.

Итак, мы получили первообразную функции f(x) = 5/cos^x, проходящую через точку А (π/4, 2), которая выражается следующим образом:

F(x) = -5 * (cos^(1 - x)) / (1 - x) + C, где C - найденная постоянная.