Question

При каком положительном значении a один корень уравнения равен квадрату другого? 8x2-6x+9a2=0

Answer 1

8x²-6x+9a²=0
x²-6/8*x+9/8a²=0
x²-3/4*x+9/8a²=0
по теореме Виета:
х1+х2=3/4   (1)
х1*х2=9/8a²
По условию один корень уравнения равен квадрату другого, тогда
х1=х2²
Подставим в (1):
х2²+х2=3/4
х2²+х2-3/4=0
4х2²+4х2-3=0
D=16+48=64=8²
х2₁=(-4-8)/8=-3/2
х2₂=(-4+8)/8=1/2
при х2₁=-3/2   х1₁=(-3/2)²=9/4
при х2₂=1/2   х1₂=(1/2)²=1/4
Т.к. 9/8а²>0, то х1 и х2 одного знака, поэтому пара х1=9/4 и х2=-3/2 не подходит.
Тогда х1*х2=1/4*1/2=1/8, отсюда
9/8а²=1/8
а²=1/9
а=1/3
Отв. а=1/3

Answer 2

Для начала решим уравнение 8x^2 - 6x + 9a^2 = 0. В данном уравнении сначала приведем его к каноническому виду для получения информации о коэффициентах: 8x^2 - 6x + 9a^2 = 0 Делаем замену переменных: y = 2sx -r, где s и r - числа, которые мы выбираем таким образом, чтобы коэффициент при x в полученном уравнении был равен единице. В нашем случае выберем s = 4, чтобы получить 8x^2. Тогда y = 8x - r. Подставим это в исходное уравнение: 8(4x - r)^2 - 6(4x - r) + 9a^2 = 0 Упростим: 32x^2 - 16rx + 2r^2 - 24x + 6r + 9a^2 = 0 32x^2 - (16r + 24)x + 2r^2 + 6r + 9a^2 = 0 Для того, чтобы коэффициент при x был равен единице, должно выполняться равенство: 16r + 24 = 0 16r = -24 r = -24/16 r = -3/2 Подставим это в уравнение: 2(3/2)^2 + 6(3/2) + 9a^2 = 0 2(9/4) + 18/2 + 9a^2 = 0 9/2 + 9 + 9a^2 = 0 (9 + 18 + 18a^2)/2 = 0 (9(1 + 2a^2) + 18)/2 = 0 9(1 + 2a^2) = -18 1 + 2a^2 = -2 2a^2 = -3 a^2 = -3/2 a = ±√(-3/2) a = ±i√(3/2)

Таким образом, корень равен квадрату другого только при мнимых значениях переменной a, а именно a = ±i√(3/2).