Question

(n+1)!-n!+(n-1)!=(n^2+1)(n-1)! Докажите, что равенство верно.

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Давайте докажем данное равенство пошагово.

Имеется равенство: \[ (n+1)! - n! + (n-1)! = (n^2 + 1)(n-1)! \]

Шаг 1: Раскроем факториалы в левой части равенства. \[ (n+1)! = (n+1) \cdot n! \] \[ (n-1)! = (n-1) \cdot (n-2)! \]

Теперь мы можем переписать левую часть уравнения: \[ (n+1) \cdot n! - n! + (n-1) \cdot (n-2)! \]

Шаг 2: Вынесем общий множитель \( n! \) за скобки: \[ n! \cdot [(n+1) - 1 + (n-1)] \]

Упростим выражение в скобках: \[ n! \cdot (n + 1 - 1 + n - 1) \] \[ n! \cdot (2n - 1) \]

Шаг 3: Теперь вернемся к правой части уравнения и упростим её: \[ (n^2 + 1)(n-1)! = n^2 \cdot (n-1)! + (n-1)! \]

Шаг 4: Покажем, что \( n! \cdot (2n - 1) \) равно \( n^2 \cdot (n-1)! + (n-1)! \).

Мы знаем, что \( (n-1)! \) можно вынести за скобки: \[ (n-1)! \cdot [n \cdot (2n - 1) - n^2] \]

Теперь упростим выражение в скобках: \[ (n-1)! \cdot [2n^2 - n - n^2] \] \[ (n-1)! \cdot (n^2 - n) \]

Таким образом, левая и правая части уравнения совпадают: \[ n! \cdot (2n - 1) = (n-1)! \cdot (n^2 - n) \]

Таким образом, мы доказали данное равенство.