Question

Сколькими нулями заканчивается произведение всех натуральных чисел от 20 до 65?

Answer 1

20 нулей 1
21*22*...*30 нулей 3 (24*25*30)
31*32*  .40 нулей 2 (32*35*40)
41*42*...*50 нулей 3 (42*45*44*50)
51*52*...*60 нулей 2 (52*55*60)
61*62*   *65 нулей 1 (62*65)
итого 12 нулей

Answer 2

Чтобы найти количество нулей в конце произведения всех натуральных чисел от 20 до 65, нужно определить, сколько раз произведение будет делиться на 10.

Число 10 дает ноль в конце своего числа из-за того, что 10 = 2 * 5. То есть, чтобы получить ноль в конце числа, нужно чтобы было хотя бы две двойки и одна пятерка в разложении этого числа на простые множители.

Разложим все числа от 20 до 65 на простые множители:

20 = 2 * 2 * 5 21 = 3 * 7 22 = 2 * 11 23 - простое число 24 = 2 * 2 * 2 * 3 25 = 5 * 5 26 = 2 * 13 27 = 3 * 3 * 3 28 = 2 * 2 * 7 29 - простое число 30 = 2 * 3 * 5 31 - простое число 32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 33 = 3 * 11 34 = 2 * 17 35 = 5 * 7 36 = 2 * 2 * 3 * 3 37 - простое число 38 = 2 * 19 39 = 3 * 13 40 = 2 * 2 * 2 * 5 41 - простое число 42 = 2 * 3 * 7 43 - простое число 44 = 2 * 2 * 11 45 = 3 * 3 * 5 46 = 2 * 23 47 - простое число 48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 49 = 7 * 7 50 = 2 * 5 * 5 51 = 3 * 17 52 = 2 * 2 * 13 53 - простое число 54 = 2 * 3 * 3 * 3 55 = 5 * 11 56 = 2 * 2 * 2 * 7 57 = 3 * 19 58 = 2 * 29 59 - простое число 60 = 2 * 2 * 3 * 5 61 - простое число 62 = 2 * 31 63 = 3 * 3 * 7 64 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 65 = 5 * 13

Теперь посчитаем, сколько двоек и пятерок встречается в разложениях этих чисел:

Двоек: 2, 1, 1, 0, 3, 0, 1, 0, 2, 0, 5, 3, 4, 1, 2, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 3, 1, 0, 6, 0, 4, 0, 2, 0, 0, 3, 1, 4, 0, 2, 1, 3, 0, 5, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 6, 0

Пятерок: 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 1, 0, 1, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 4, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 0, 1

Сравнивая количество двоек и пятерок, можно заметить, что двоек больше чем пятерок в разложении множителей каждого числа. То есть, количество пятерок в разложении чисел будет ограничивать количество нулей в конце произведения.

Значит, нам достаточно узнать, сколько раз число 5 встречается в разложении чисел от 20 до 65. Если число 5 встречается k раз, то произведение этих чисел будет делиться на 10^k.

Посчитаем количество пятерок:

1 + 2 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 3 + 0 + 0 + 1 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 1 + 0 + 1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 1 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 1 = 26

Значит, в произведении всех натуральных чисел от 20 до 65 количество нулей в конце будет равно 26.

Таким образом, произведение всех натуральных чисел от 20 до 65 заканчивается 26 нулями.