Question

Натуральное число А имеет В делителей, а число В имеет А/2 делителей. Сколько делителей у числа А+2В?

Answer 1

Пусть А=2 (делители 2 и 1)
пусть B=1(делители 1)
А+2В=2+2=4(делители 4,2,1)
3 делителя

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

Пусть \( A \) - натуральное число с \( B \) делителями, а \( B \) - натуральное число с \( \frac{A}{2} \) делителями.

Число делителей натурального числа можно выразить через его простые множители. Если \[ A = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{a_k}, \] где \( p_1, p_2, \ldots, p_k \) - простые числа, а \( a_1, a_2, \ldots, a_k \) - их степени, то количество делителей \( A \) равно \( (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (a_k + 1) \).

Таким образом, если \( A \) имеет \( B \) делителей, то мы можем записать \[ A = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{b_m}, \] где \( b_1, b_2, \ldots, b_m \) - иные степени простых чисел.

Теперь, согласно условию, число \( B \) имеет \( \frac{A}{2} \) делителей. Если мы выразим \( B \) через его простые множители, получим \[ B = p_1^{c_1} \cdot p_2^{c_2} \cdot \ldots \cdot p_n^{c_n}, \] где \( c_1, c_2, \ldots, c_n \) - иные степени простых чисел.

Теперь мы хотим найти количество делителей числа \( 2B \). Если \( 2B \) выразить через простые множители, то каждая степень простого числа в этом разложении будет увеличена на 1 по сравнению с \( B \).

Таким образом, количество делителей числа \( 2B \) можно выразить как \[ (c_1 + 2) \cdot (c_2 + 2) \cdot \ldots \cdot (c_n + 2). \]

Так как \( B \) имеет \( \frac{A}{2} \) делителей, а \( A \) имеет \( B \) делителей, мы можем выразить \( B \) через \( A \): \[ B = p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{b_m}. \]

Теперь мы можем выразить \( 2B \) через \( A \): \[ 2B = 2 \cdot p_1^{b_1} \cdot p_2^{b_2} \cdot \ldots \cdot p_m^{b_m}. \]

Таким образом, количество делителей числа \( 2B \) можно выразить как \[ (b_1 + 2) \cdot (b_2 + 2) \cdot \ldots \cdot (b_m + 2). \]

Итак, мы пришли к выражению для количества делителей числа \( 2B \) через количество делителей числа \( A \).