Question

Найдите количество корней уравнения sin(x-2)=sinx-sin2 на промежутке [0;2pi]

Answer 1

Sin(x - 2) = sin x - sin 2
sin x*cos 2 - cos x*sin 2 = sin x - sin 2
0 = sin x*(1 - cos 2) + cos x*sin 2 - sin 2
Переходим к половинным аргументам
2sin(x/2)*cos(x/2)*(1 - cos 2) + sin 2*(cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) -
- sin 2*(cos^2(x/2) + sin^2(x/2)) = 0
-sin^2(x/2)*(sin 2 + sin 2) + 2sin(x/2)*cos(x/2)*(1 - cos 2) +
+ cos^2(x/2)*(sin 2 - sin 2) = 0
-2sin 2*sin^2(x/2) + 2sin(x/2)*cos(x/2)*(1 - cos 2) = 0
2sin(x/2)*(cos(x/2)*(1 - cos 2) - sin(x/2)*sin 2) = 0
1) sin(x/2) = 0; x/2 = pi*k; x = 2pi*k
2) cos(x/2)*(1 - cos 2) - sin(x/2)*sin 2 = 0
cos(x/2)*(1 - cos 2) = sin(x/2)*sin 2
tg(x/2) = (1 - cos 2)/sin 2
x/2 = arctg((1 - cos 2)/sin 2) + pi*n
x = 2arctg((1 - cos 2)/sin 2) + 2pi*n
Еще подходит x = 2
sin (2 - 2) = sin 2 - sin 2
sin 0 = 0
Но это я догадался, как это получить алгебраически - непонятно.

Answer 2

Для нахождения количества корней уравнения sin(x-2) = sin(x) - sin(2) на промежутке [0, 2π], мы можем использовать графический метод или аналитический метод.

Графический метод:

Первым шагом мы можем построить графики функций y = sin(x-2) и y = sin(x) - sin(2) на данном промежутке и определить точки их пересечения.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)
y1 = np.sin(x-2)
y2 = np.sin(x) - np.sin(2)

plt.plot(x, y1, label='sin(x-2)')
plt.plot(x, y2, label='sin(x) - sin(2)')
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graphs of sin(x-2) and sin(x) - sin(2)')
plt.grid(True)
plt.show()

После построения графиков, мы можем найти точки их пересечения. Количество таких точек будет соответствовать количеству корней уравнения на данном промежутке.

Аналитический метод:

Для решения уравнения sin(x-2) = sin(x) - sin(2), мы можем привести его к более простой форме, используя тригонометрические тождества.

sin(x-2) = sin(x) - sin(2) sin(x)cos(2) - cos(x)sin(2) = sin(x) - sin(2) sin(x)(cos(2) - 1) - cos(x)sin(2) = -sin(2)

Заметим, что cos(2) - 1 = -2sin^2(1), и sin(2) = 2sin(1)cos(1). Подстав