Question

Найти длину интервала, на котором функция y= -2x^3 + 15x^2 + 12 возрастает. Нужно само решение.

Answer 1

Находим производную
у ` = -6x²+30x
Приравниваем производную к нулю, чтобы найти точки возможного экстремума.
-6х²+30х=0,
-6х(х-5)=0
х=0    или х=5
Отмечаем эти точки на числовой прямой и отмечаем знак производной.
Поскольку производная -квадратичная функция у=-6х²+30х, ветви которой направлены вниз, то на промежутке (0;5) функция будет выше оси ох, т.е производная имеет знак +, а на двух других соответственно знак -
           -                +            -
---------------------0-------------5--------------------
функция возрастает там, где производная положительна, т.е на (0;5)

Answer 2

Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает, нужно найти производную функции и решить неравенства.

Дано: y = -2x^3 + 15x^2 + 12

Шаг 1: Найдем производную функции y по x. y' = (-2) * 3x^2 + 15 * 2x + 0 = -6x^2 + 30x

Шаг 2: Решим неравенство -6x^2 + 30x > 0. Можно разделить обе части неравенства на -6, но так как коэффициент отрицательный, мы должны изменить знак неравенства. x^2 - 5x < 0

Шаг 3: Решим квадратное неравенство x^2 - 5x < 0. Сначала найдем корни уравнения x^2 - 5x = 0. x(x - 5) = 0 x1 = 0, x2 = 5

Произведем анализ интервалов: 1) При x < 0 функция y < 0 2) При 0 < x < 5 функция y > 0 3) При x > 5 функция y < 0

Таким образом, функция y = -2x^3 + 15x^2 + 12 возрастает на интервале 0 < x < 5.