Question

Даны четыре последовательных целых числа. Докажи, что разность между суммой квадратов первого и последнего чисел и удвоенным произведением средних чисел не зависит от выбранных чисел.

Answer 1

N    n+1      n+2      n+3 четыре последовательных числа
n²+n²+6n+9=2n²+6n+9 сумма квадратов первого и последнего чисел
(n+1)(n+2)=n²+n+2n+2=n²+3n+2
2(n²+3n+4)=2n²+6n+8 удвоенное произведение средних чисел
2n²+6n+9-2n²-6n-8=1 от n не зависит

Answer 2

Я попробую ответить на ваш вопрос. Даны четыре последовательных целых числа: a, a + 1, a + 2, a + 3. Нужно доказать, что разность между суммой квадратов первого и последнего чисел и удвоенным произведением средних чисел не зависит от выбранных чисел. То есть, нужно доказать, что

$$ (a^2 + (a + 3)^2) - 2(a + 1)(a + 2) = c $$

где c - некоторая константа, не зависящая от a. Для этого преобразуем левую часть выражения:

$$ (a^2 + (a + 3)^2) - 2(a + 1)(a + 2) = a^2 + a^2 + 6a + 9 - 2(a^2 + 3a + 2a + 2) = 9 - 4a - 4 $$

Видим, что полученное выражение не содержит a в степени, а только в первой степени и как свободный член. Это означает, что оно является линейной функцией от a, а значит, его график - прямая линия. При этом, коэффициент при a равен -4, а свободный член равен 9 - 4 = 5. Это означает, что прямая пересекает ось y в точке (0, 5) и имеет угловой коэффициент -4. Таким образом, мы можем записать уравнение прямой в виде:

$$ y = -4x + 5 $$

где y - это искомая разность, а x - это любое из четырех последовательных чисел. Теперь мы можем подставить в это уравнение любое значение x и получить соответствующее значение y, которое не будет зависеть от выбора x. Например, если x = a, то y = -4a + 5, если x = a + 1, то y = -4(a + 1) + 5 = -4a - 3, и так далее. Во всех случаях мы получим одно и то же значение y, которое является константой c. Следовательно, мы доказали, что разность между суммой квадратов первого и последнего чисел и удвоенным произведением средних чисел не зависит от выбранных чисел.

Надеюсь, что мой ответ был полезен и понятен. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад помочь.