Question

Найдите точку максимума f(x)=(x+6)(x-4)

Answer 1

F(x) = (x+6)(x-4) = x^2 + 2x - 24
Это парабола, ветви направлены вверх, поэтому максимума нет.
При х, стремящемся к бесконечности в обе стороны, f(x) неограниченно возрастает.
А точка минимума - вершина параболы, находится так.
x0 = -b/(2a) = -2/2 = -1, f(-1) = 1 - 2 - 24 = -25
Точка минимума: (-1, -25)

Answer 2

Чтобы найти точку максимума функции \( f(x) = (x+6)(x-4) \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Раскройте скобки в выражении: \( f(x) = x^2 - 4x + 6x - 24 \). 2. Сгруппируйте подобные члены: \( f(x) = x^2 + 2x - 24 \). 3. Найдите производную функции по переменной \( x \): \( f'(x) = 2x + 2 \). 4. Решите уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек:

\[ 2x + 2 = 0 \]

Вычитаем 2 из обеих сторон:

\[ 2x = -2 \]

Делим на 2:

\[ x = -1 \]

Таким образом, \( x = -1 \) - это критическая точка функции.

5. Чтобы определить, является ли эта точка максимумом или минимумом, можно воспользоваться второй производной. Найдем вторую производную функции \( f(x) \):

\[ f''(x) = 2 \]

Вторая производная положительна, что означает, что у нас есть минимум. Однако, так как мы ищем максимум, мы можем использовать информацию о знаке первой производной. В окрестности критической точки слева (при \( x < -1 \)), производная отрицательна, а справа (при \( x > -1 \)) - положительна. Это означает, что у нас есть локальный минимум в точке \( x = -1 \).

Таким образом, функция \( f(x) = (x+6)(x-4) \) имеет локальный минимум в точке \( x = -1 \). Теперь можно найти соответствующее значение функции в этой точке, подставив \( x = -1 \) в исходную функцию:

\[ f(-1) = (-1 + 6)(-1 - 4) = 5 \times (-5) = -25 \]

Так что точка максимума функции \( f(x) \) находится в точке \( x = -1 \) с соответствующим значением \( f(-1) = -25 \).