Question

Помогите решить.ctg9 - ctg27 - ctg63 + ctg81 . Всё в градусах.

Answer 1

Ctg(9°) – ctg(27°) – ctg(63°) + ctg(81°) = 4

Answer 2

Да, конечно, я могу помочь. Давайте посмотрим на ваше выражение:

\[ \ctg 9^\circ - \ctg 27^\circ - \ctg 63^\circ + \ctg 81^\circ \]

Для решения данного выражения мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, а именно тождеством котангенса:

\[ \ctg \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} \]

Таким образом, выражение можно переписать следующим образом:

\[ \frac{1}{\tan 9^\circ} - \frac{1}{\tan 27^\circ} - \frac{1}{\tan 63^\circ} + \frac{1}{\tan 81^\circ} \]

Теперь, используем тождество \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\):

\[ \frac{1}{\frac{\sin 9^\circ}{\cos 9^\circ}} - \frac{1}{\frac{\sin 27^\circ}{\cos 27^\circ}} - \frac{1}{\frac{\sin 63^\circ}{\cos 63^\circ}} + \frac{1}{\frac{\sin 81^\circ}{\cos 81^\circ}} \]

Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на \(\cos \alpha\):

\[ \frac{\cos 9^\circ}{\sin 9^\circ} - \frac{\cos 27^\circ}{\sin 27^\circ} - \frac{\cos 63^\circ}{\sin 63^\circ} + \frac{\cos 81^\circ}{\sin 81^\circ} \]

Теперь сложим и вычтем дроби:

\[ \frac{\cos 9^\circ \sin 27^\circ - \sin 9^\circ \cos 27^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} - \frac{\cos 63^\circ \sin 81^\circ - \sin 63^\circ \cos 81^\circ}{\sin 63^\circ \sin 81^\circ} \]

Объединим числители:

\[ \frac{\sin(27^\circ - 9^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} - \frac{\sin(81^\circ - 63^\circ)}{\sin 63^\circ \sin 81^\circ} \]

Теперь у нас есть разность синусов. Используем тригонометрическое тождество \(\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta\):

\[ \frac{\sin 27^\circ \cos 9^\circ - \cos 27^\circ \sin 9^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} - \frac{\sin 81^\circ \cos 63^\circ - \cos 81^\circ \sin 63^\circ}{\sin 63^\circ \sin 81^\circ} \]

Теперь упростим числители:

\[ \frac{\sin(27^\circ - 9^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} - \frac{\sin(81^\circ - 63^\circ)}{\sin 63^\circ \sin 81^\circ} \]

\[ \frac{\sin 18^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} - \frac{\sin 18^\circ}{\sin 63^\circ \sin 81^\circ} \]

Теперь факторизуем числитель:

\[ \frac{\sin 18^\circ (\sin 27^\circ - \sin 63^\circ)}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} \]

Видим, что \(\sin 27^\circ - \sin 63^\circ = 2 \cos 45^\circ \sin 18^\circ\), поэтому:

\[ \frac{2 \cos 45^\circ \sin 18^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} \]

Теперь упростим числитель:

\[ \frac{\sqrt{2} \sin 18^\circ}{\sin 9^\circ \sin 27^\circ} \]

Теперь можно упростить знаменатель:

\[ \frac{\sqrt{2} \sin 18^\circ}{\frac{1}{2} \cos 81^\circ - \frac{1}{2} \cos 9^\circ} \]

\[ \frac{\sqrt{2} \sin 18^\circ}{\frac{1}{2} (\sin 9^\circ + \sin 9^\circ)} \]

\[ \frac{\sqrt{2} \sin 18^\circ}{\sin 9^\circ} \]

Теперь делим числитель на знаменатель:

\[ \frac{\sqrt{2} \sin 18^\circ}{\sin 9^\circ} \cdot \frac{\sin 9^\circ}{\sin 9^\circ} \]

\[ \sqrt{2} \tan 18^\circ \]

Таким образом, значение выражения \(\ctg 9^\circ - \ctg 27^\circ - \ctg 63^\circ + \ctg 81^\circ\) равно \(\sqrt{2} \tan 18^\circ\).