Question

Если сходственные стороны подобных треугольников равны 2см и 5см ,и площадь первого треугольника равна 8 см ^ 2 , то площадь второго треугольника равна ?

Answer 1

В подобных треугольниках отношение площадей равняются квадрату подобия сторон.
х-неизвеснтная площадь.
х:8=(5:2)^2
х:8=2.5^2
Х:8=6.25
х=6.25*8
х=50

Answer 2

Давайте обозначим стороны первого треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), а стороны второго треугольника как \(ka\), \(kb\) и \(kc\), где \(k\) - коэффициент подобия. По условию задачи, сходственные стороны равны 2 см и 5 см, что означает, что \(k = \frac{5}{2}\).

Площадь треугольника можно выразить через его стороны по формуле Герона:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\],

где \(p\) - полупериметр треугольника, \(p = \frac{a+b+c}{2}\).

Для первого треугольника:

\[p_1 = \frac{a + b + c}{2}\]

\[S_1 = \sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}\]

По условию задачи, площадь первого треугольника \(S_1 = 8 \, \text{см}^2\). Подставим известные значения:

\[8 = \sqrt{p_1(p_1 - a)(p_1 - b)(p_1 - c)}\]

Теперь для второго треугольника:

\[p_2 = \frac{ka + kb + kc}{2} = \frac{k(a + b + c)}{2} = \frac{5}{2} \cdot \frac{a + b + c}{2} = \frac{5}{2} \cdot p_1\]

\[S_2 = \sqrt{p_2(p_2 - ka)(p_2 - kb)(p_2 - kc)}\]

Теперь подставим выражение для \(p_2\):

\[S_2 = \sqrt{\frac{5}{2}p_1 \left(\frac{5}{2}p_1 - ka\right) \left(\frac{5}{2}p_1 - kb\right) \left(\frac{5}{2}p_1 - kc\right)}\]

Так как \(k = \frac{5}{2}\), то:

\[S_2 = \sqrt{\frac{5}{2}p_1 \left(\frac{5}{2}p_1 - \frac{5}{2}a\right) \left(\frac{5}{2}p_1 - \frac{5}{2}b\right) \left(\frac{5}{2}p_1 - \frac{5}{2}c\right)}\]

\[S_2 = \sqrt{\frac{5}{2}p_1 \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot p_1 \cdot (p_1 - a) \cdot (p_1 - b) \cdot (p_1 - c)}\]

\[S_2 = \sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^3 \cdot 2 \cdot p_1 \cdot (p_1 - a) \cdot (p_1 - b) \cdot (p_1 - c)}\]

\[S_2 = \frac{5}{2} \sqrt{2 \cdot p_1 \cdot (p_1 - a) \cdot (p_1 - b) \cdot (p_1 - c)}\]

Мы знаем, что \(S_1 = 8 \, \text{см}^2\), поэтому:

\[S_2 = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{2 \cdot 8} = \frac{5}{2} \cdot \sqrt{16} = \frac{5}{2} \cdot 4 = 10 \, \text{см}^2\]

Таким образом, площадь второго треугольника равна 10 \(\text{см}^2\).