Question

Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения х²-3х-5=0.Найдите значение выражений: 1/х1+1/х2 х1²+х2² х1/х2+х2/х1

Answer 1

X² - 3x - 5 = 0
D = 9 + 20 = 29
x1 = (3-√29)/2
x2 = (3+√29)/2

1) 1/x1 + 1/x2 = 2/(3-√29) + 2/(3+√29) = (6+2√29+6-2√29)/(9-29) = 12/(-20) = -3/5 = -0,6
2) x1² + x2² = (3-√29)² + (3+√29)² = 9 -6√29 + 29 + 9 + 6√29 + 29 = 76
3) x1/x2 + x2/x1 = (x1² + x2²)/(x1*x2) = 76/((3-√29)(3+√29)) = 76/(9-29) = 76/(-20) = -19/5 = -3,8

Answer 2

Конечно, давайте начнем с квадратного уравнения \(x^2 - 3x - 5 = 0\).

Сначала найдем корни \(x_1\) и \(x_2\) этого уравнения. Можем использовать квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = -3\), и \(c = -5\), чтобы найти корни:

Используем формулу дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 9 + 20 = 29\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, у уравнения есть два различных корня:

\[x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\] \[x_1, x_2 = \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]

Теперь, когда у нас есть значения \(x_1\) и \(x_2\), можем перейти к нахождению выражений, используя эти корни.

1. \( \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \): \[\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 \cdot x_2}\] По формуле суммы корней \(x_1 + x_2 = -b / a = 3 / 1 = 3\), а \(x_1 \cdot x_2 = c / a = -5 / 1 = -5\). Таким образом, \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}\).

2. \(x_1^2 + x_2^2\): Используя формулу квадрата суммы и разности корней: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\) Подставим известные значения: \(x_1 + x_2 = 3\) и \(x_1x_2 = -5\) \(x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2(-5) = 9 + 10 = 19\).

3. \(x_1/x_2 + x_2/x_1\):

Используем формулу \(x_1/x_2 + x_2/x_1 = (x_1^2 + x_2^2) / (x_1 \cdot x_2)\):

Мы уже вычислили \(x_1^2 + x_2^2 = 19\) и \(x_1 \cdot x_2 = -5\):

\(x_1/x_2 + x_2/x_1 = \frac{19}{-5} = -\frac{19}{5}\).

Таким образом, значения данных выражений для корней уравнения \(x^2 - 3x - 5 = 0\) равны:

1. \(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{3}{5}\) 2. \(x_1^2 + x_2^2 = 19\) 3. \(x_1/x_2 + x_2/x_1 = -\frac{19}{5}\).