Question

Cosx-cos3x=cos2x-cos4x

Answer 1

$cosx-cos3x=cos2x-cos4x \\-2sin( \frac{x+3x}{2} )*sin( \frac{x-3x}{2})=-2sin( \frac{2x+4x}{2} )*sin( \frac{2x-4x}{2} ) \\sin(2x)*sin(-x)=sin(3x)*sin(-x) \\sin(2x)*sin(x)-sin(3x)*sin(x)=0 \\sin(x)(sinx-sin(3x))=0 \\sin(x)(sinx-3sinx+4sin^3x)=0 \\sinx=0 \\x_1=\pi n,\ n \in Z \\4sin^3x-2sinx=0 \\2sin^3x-sinx=0 \\sinx(2sin^2x-1)=0 \\sinx=0$
у нас уже есть корень для выражения sinx=0, это x=pi*n
$2sin^2x=1 \\sinx= \frac{\sqrt{2}}{2} \\x_{2}= \frac{\pi}{4} +2\pi n,\ n \in Z \\x_3= \frac{3\pi}{4} +2\pi n,\ n \in Z \\sinx=- \frac{\sqrt{2}}{2} \\x_{4}= -\frac{\pi}{4} +2\pi n,\ n \in Z \\x_5= -\frac{3\pi}{4} +2\pi n,\ n \in Z$

Answer 2

Данное уравнение содержит тригонометрические функции и требует решения для переменной x. Давайте разберемся, как можно решить это уравнение.

Используя тригонометрические тождества, мы можем преобразовать данное уравнение. Для начала, воспользуемся тождеством cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b):

cos(x) - cos(3x) = cos(2x) - cos(4x)

Теперь применим это тождество к каждому члену уравнения:

cos(x) - (cos(x)cos(3x) + sin(x)sin(3x)) = cos(2x) - (cos(2x)cos(4x) + sin(2x)sin(4x))

Раскроем скобки и упростим выражение:

cos(x) - cos(x)cos(3x) - sin(x)sin(3x) = cos(2x) - cos(2x)cos(4x) - sin(2x)sin(4x)

После сокращения членов получим:

cos(x) - cos(x)cos(3x) - cos(2x) + cos(2x)cos(4x) = -sin(x)sin(3x) - sin(2x)sin(4x)

Теперь воспользуемся еще одним тригонометрическим тождеством cos(a) - cos(b) = -2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2):

2sin((x+3x)/2)sin((x-3x)/2) - 2sin((2x+4x)/2)sin((2x-4x)/2) = -sin(x)sin(3x) - sin(2x)sin(4x)

Упростим выражение:

2sin(2x)sin(-x) - 2sin(3x)sin(-x) = -sin(x)sin(3x) - sin(2x)sin(4x)

Так как sin(-x) = -sin(x), можем упростить дальше:

-2sin(2x)sin(x) + 2sin(3x)sin(x) = -sin(x)sin(3x) - sin(2x)sin(4x)

Теперь объединим члены синусов:

-2sin(x)(sin(2x) - sin(3x)) = -sin(x)(sin(3x) + sin(4x))

Мы видим, что у нас есть общий множитель sin(x). Мы можем разделить оба члена уравнения на sin(x), при условии, что sin(x) не равен нулю:

-2(sin(2x) - sin(3x)) = -(sin(3x) + sin(4x))

Уберем знак минус из обоих частей уравнения:

2(sin(2x) - sin(3x)) = sin(3x) + sin(4x)

Теперь приведем подобные слагаемые:

2sin(2x) - 2sin(3x) = sin(3x) + sin(4x)

Добавим 2sin(3x) к обеим частям уравнения:

2sin(2x) = 3sin(3x) + sin(4x)

Теперь у нас есть уравнение без косинусов. Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать различные методы, включая графический анализ, методы численного решения или аналитическое решение.