Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С проведена биссектриса BM . Докажите что расстояние от точки M до прямой AB равно отрезку СМ.

Answer 1

Так как ∠С=90°, то расстояние от точки М до прямой ВС равно отрезку МС.
Расстояние от точки М до стороны АВ, так же является перпендикуляром. Назовём его МК. По свойству биссектрисы угла, точка, лежащая на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла. То есть МС=МК. 

Answer 2

Вот подробное решение задачи:

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена биссектриса BM. Докажите, что расстояние от точки M до прямой AB равно отрезку CM.

Решение:

Пусть D — точка пересечения биссектрисы BM с прямой AB. Тогда, по свойству биссектрисы, BD:DA = BC:AC. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора BC^2 + AC^2 = AB^2. Отсюда следует, что BC:AC = AB:BC. Подставляя это в равенство BD:DA = BC:AC, получаем BD:DA = AB:BC.

Теперь рассмотрим треугольники BMD и CMA. Они подобны, так как у них равны углы B и C (как прямые), а также углы MBD и MCA (как вертикально противоположные). По свойству подобных треугольников, отношение сторон, лежащих против равных углов, равно отношению любых двух соответственных сторон. То есть BM:CM = BD:DA. Но мы уже знаем, что BD:DA = AB:BC. Значит, BM:CM = AB:BC.

Из этого равенства следует, что BM^2 = CM * AB. Но BM^2 = MD^2 + BD^2, а CM * AB = CD^2 + BD^2 (по теореме Пифагора для треугольников BMD и CMA). Следовательно, MD^2 = CD^2, откуда MD = CD. Это и означает, что расстояние от точки M до прямой AB равно отрезку CM.