Question

помогите пожалуйста... Чему равна производная функции : f(x) =корень из x(x+1) в точке x0=4

Answer 1

Применены формулы дифференцирования

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти производную функции f(x) и подставить в нее значение x0 = 4.

Функция f(x) дана как корень из x(x+1):

f(x) = √(x(x+1))

Чтобы найти производную этой функции, мы можем использовать правило дифференцирования для функции, состоящей из произведения двух функций.

Таким образом, мы можем представить f(x) как произведение функций u(x) и v(x), где:

u(x) = √x v(x) = √(x+1)

Применим правило дифференцирования для произведения функций (правило Лейбница):

(f(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Вычислим производные функций u(x) и v(x):

u'(x) = (1/2) * (x^(-1/2)) = 1 / (2√x) v'(x) = (1/2) * ((x+1)^(-1/2)) = 1 / (2√(x+1))

Теперь, подставим значения производных и функций в формулу для производной f(x):

(f(x))' = (1 / (2√x)) * √(x+1) + √x * (1 / (2√(x+1))) = 1 / (2√x) * √(x+1) + √x / (2√(x+1))

Упростим выражение:

(f(x))' = 1 / (2√x) * √(x+1) + √x / (2√(x+1)) = (√(x+1) + √x) / (2√x√(x+1)) = (√(x+1) + √x) / (2√(x(x+1)))

Теперь мы можем найти значение производной в точке x0 = 4, подставив x = 4 в полученную формулу:

(f(x))'|x=4 = (√(4+1) + √4) / (2√(4(4+1))) = (√5 + 2) / (2√20) = (√5 + 2) / (2√(4*5)) = (√5 + 2) / (2*2√5) = (√5 + 2) / (4√5)

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0 = 4 равна (√5 + 2) / (4√5).