Question

Решите задачУ: в пруд посад ли кувшинку, извесно что за одни сутки из 1 кувшинки появляются 2. За сколько дней пруд заполнится на половину, если за 20 дней он был полон

Answer 1

За 10 дней. Потому что за 20 дней он наполнится целеком ,значит за десять на половину.

Answer 2

Давайте обозначим количество воды в пруду за каждый день. Пусть \(V\) - это объем воды в пруду, \(t\) - количество дней, \(k\) - количество кувшинок.

Из условия задачи известно, что за одни сутки из 1 кувшинки появляются 2. То есть, каждый день количество воды увеличивается в \(k \cdot 2\) раз.

Также известно, что за 20 дней пруд был полон. То есть, мы можем записать уравнение:

\[V_{20} = V_0 \cdot (k \cdot 2)^{20},\]

где \(V_{20}\) - объем воды в пруду после 20 дней, \(V_0\) - начальный объем воды, \(k\) - количество кувшинок.

Теперь нам нужно найти количество дней (\(t\)), за которое пруд заполнится на половину. После \(t\) дней объем воды будет равен \(V_t\), и это будет половина от максимального объема (\(V_0\)):

\[V_t = \frac{1}{2} \cdot V_0.\]

Мы знаем, что каждый день объем увеличивается в \(k \cdot 2\) раз. Поэтому мы можем записать уравнение:

\[V_t = V_0 \cdot (k \cdot 2)^t.\]

Теперь мы можем приравнять два уравнения:

\[V_0 \cdot (k \cdot 2)^t = \frac{1}{2} \cdot V_0 \cdot (k \cdot 2)^{20}.\]

Исключим \(V_0\) и решим уравнение:

\[(k \cdot 2)^t = \frac{1}{2} \cdot (k \cdot 2)^{20}.\]

Теперь мы можем найти значение \(t\). Возьмем логарифм от обеих сторон:

\[t \cdot \log_2(k \cdot 2) = 20 \cdot \log_2(k \cdot 2).\]

Сократим на \(\log_2(k \cdot 2)\):

\[t = 20.\]

Таким образом, пруд заполнится наполовину за 20 дней.