Question

Доказать, что sinxcosx=1/2sin2x

Answer 1

Ну тут уже все логично. По формуле двойного угла..

Answer 2

Чтобы доказать равенство sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x), мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования.

Начнем с правой стороны равенства: (1/2)sin(2x). Мы можем использовать формулу двойного аргумента sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Теперь мы получаем:

(1/2)sin(2x) = (1/2) * 2sin(x)cos(x) = sin(x)cos(x).

Таким образом, мы видим, что правая сторона равенства равна sin(x)cos(x).

Теперь давайте рассмотрим левую сторону равенства sin(x)cos(x). Мы можем использовать формулу двойного аргумента для cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x). Затем мы можем переписать sin^2(x) как 1 - cos^2(x), используя тригонометрическую идентичность sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Таким образом, получаем:

sin(x)cos(x) = sin(x) * (cos^2(x) - sin^2(x)) = sin(x)cos^2(x) - sin^3(x).

Теперь нам нужно использовать другую тригонометрическую идентичность, sin(2x) = 2sin(x)cos(x), чтобы выразить sin(x)cos^2(x) через sin(2x). Поделим обе части на cos(x):

sin(2x) = 2sin(x)cos(x) = sin(x)cos^2(x) / cos(x) - sin^3(x) / cos(x).

Теперь мы можем заметить, что cos(x) / cos(x) = 1:

sin(2x) = sin(x)cos(x) - sin^3(x) / cos(x).

Теперь мы видим, что левая сторона равенства sin(x)cos(x) равна sin(2x) - sin^3(x) / cos(x).

Теперь сравним правую и левую стороны равенства:

sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x) = sin(2x) - sin^3(x) / cos(x).

Теперь давайте умножим обе части на cos(x):

sin(x)cos^2(x) = (1/2)sin(2x)cos(x) = sin(2x)cos(x) - sin^3(x).

Теперь мы видим, что мы получили то же самое выражение для левой стороны равенства, которое мы получили для правой стороны равенства. Таким образом, мы доказали, что sin(x)cos(x) = (1/2)sin(2x).