Question

В треугольнике ABC известны стороны AB=3, AC=6 и угол ∠BAC=60∘. Найдите радиус описанной окружности треугольника.

Answer 1

Найдём по теореме косинусов сторону BC:

$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2 - 2 cosBAC \cdot AB \cdot AC} = \sqrt{9 + 36 - 2 \cdot 0,5 \cdot 3 \cdot 6} = \\ \\ \sqrt{45 - 18} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3}$

По обобщённой теореме синусов:
2R = BC/sinA
sin60° = √3/2
R = BC/2sinA
$R = \dfrac{3 \sqrt{3} }{2 \cdot \dfrac{ \sqrt{3} }{2} } = \dfrac{3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} } = 3$

P.s: можно по-другому.
По обратной теореме Пифагора данный треугольник является прямоугольным.
AC - его гипотенуза.
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы ⇒ R = 0,5AC = 3.

Ответ: R = 3. 

Answer 2

R=AB*BC*AC/4S
BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cos<BAC=9+36-2*3*6*1/2=45-18=27
BC=3√3
S=1/2*AB*AC*sin<BAC=1/2*3*6*√3/2=9√3/2
R=(3*6*3√3)/(4*9√3/2)=54√3/18√3=3

Answer 3

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности треугольника, которая гласит:

Радиус описанной окружности = (сторона AB * сторона AC * сторона BC) / (4 * площадь треугольника ABC)

Первым шагом нам нужно найти сторону BC треугольника ABC. Мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая утверждает, что для треугольника с известными сторонами a, b и c, и углом между сторонами c, можно найти третью сторону с помощью следующей формулы:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)

В нашем случае, стороны AB и AC известны, а угол BAC равен 60 градусам. Подставим значения в формулу:

BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(BAC)

BC^2 = 3^2 + 6^2 - 2 * 3 * 6 * cos(60°)

Теперь мы можем вычислить сторону BC:

BC^2 = 9 + 36 - 36 * 0.5

BC^2 = 9 + 36 - 18

BC^2 = 27

BC = sqrt(27) ≈ 5.196

Теперь у нас есть все необходимые значения для вычисления радиуса описанной окружности. Мы можем продолжить и подставить значения в формулу:

Радиус описанной окружности = (AB * AC * BC) / (4 * площадь треугольника ABC)

Площадь треугольника ABC можно найти с помощью формулы Герона:

площадь треугольника ABC = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

где s - полупериметр треугольника, определяемый формулой:

s = (AB + AC + BC) / 2

Подставим значения в формулу и решим:

s = (3 + 6 + 5.196) / 2

s = 14.196 / 2

s = 7.098

Теперь мы можем найти площадь треугольника:

площадь треугольника ABC = sqrt(7.098 * (7.098 - 3) * (7.098 - 6) * (7.098 - 5.196))

площадь треугольника ABC = sqrt(7.098 * 4.098 * 1.098 * 1.902)

площадь треугольника ABC ≈ 5.196

Теперь, когда у нас есть площадь треугольника, мы можем найти радиус описанной окружности:

Радиус описанной окружности = (3 * 6 * 5.196) / (4 * 5.196)

Радиус описанной окружности ≈ 4.5

Таким образом, радиус описанной окружности треугольника ABC составляет около 4.5.