Question

Решите тригонометрическое уравнение sin3x+sin7x=-sin11x

Answer 1

Sin3x+Sin7x=-Sin11x
Sin3x+Sin7x + Sin11x = 0
(Sin3x + Sin11x) + Sin7x = 0
2Sin7xCos4x + Sin7x = 0
Sin7x(2Cos4x + 1 ) = 0
Sin7x = 0      или         2Сos4x +1 = 0
7x = πn , n ∈ Z             Cos4x = -1/2
x = πn/7 , n ∈Z            4x = +-arcCos(-1/2) + 2πk , k ∈Z
                                     4x = +-2π/3 + 2πk , k ∈Z
                                     x = +-π/6 + πk/2 , k ∈ Z 

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества.

Используя формулу синуса суммы двух углов, мы можем переписать уравнение следующим образом:

sin(3x) + sin(7x) = -sin(11x) sin(3x) + sin(7x) + sin(11x) = 0

Теперь, используя формулу синуса суммы трех углов, мы можем переписать уравнение в виде:

2sin((3x + 11x)/2)cos((3x - 11x)/2) + sin(7x) = 0 2sin(7x)cos(-4x) + sin(7x) = 0 sin(7x)(2cos(4x) + 1) = 0

Теперь, у нас есть два возможных случая:

1. sin(7x) = 0 Это означает, что 7x = kπ, где k - целое число. Таким образом, x = kπ/7, где k - целое число.

2. 2cos(4x) + 1 = 0 Выразим cos(4x) из этого уравнения: 2cos(4x) = -1 cos(4x) = -1/2

Теперь, мы знаем, что cos(4x) = -1/2 имеет два решения в интервале [0, 2π]: 4x = 2π/3 и 4x = 4π/3. Таким образом, x = π/6 и x = π/3.

Таким образом, решениями данного тригонометрического уравнения являются: x = kπ/7, где k - целое число, x = π/6, x = π/3.