Question

Найти производную функцию. y=ln sin^3 5x

Answer 1

Решение
y=ln sin^3 5x
y` = (1 / sin³ 5x)*[(3sin²5x)*(cos5x)*5] = [(15sin²5x * cos5x)]/sin³5x =
= 15cos5x/sin5x = 15ctg(5x)

Answer 2

Давайте найдем производную функции \( y = \ln(\sin^3(5x)) \) по переменной \( x \) с использованием правил дифференцирования.

1. Применение цепного правила (Chain Rule): Для функции вида \( \ln(f(x)) \), производная равна \( \frac{f'(x)}{f(x)} \). Применяем это правило к \( \ln(\sin^3(5x)) \):

\[ y' = \frac{d}{dx}(\ln(\sin^3(5x))) \]

2. Вычисление производной внутренней функции \( \sin^3(5x) \):

Используем цепное правило снова. Пусть \( u = \sin(5x) \), тогда

\[ \frac{du}{dx} = 5\cos(5x) \]

Теперь применяем цепное правило к \( \sin^3(5x) \):

\[ \frac{d}{dx}(\sin^3(5x)) = 3\sin^2(5x) \cdot \frac{du}{dx} \]

3. Подстановка производной во внешнюю функцию:

Теперь можем подставить результат в исходную производную:

\[ y' = \frac{1}{\sin^3(5x)} \cdot 3\sin^2(5x) \cdot 5\cos(5x) \]

Упростим выражение:

\[ y' = \frac{15\sin^2(5x)\cos(5x)}{\sin^3(5x)} \]

Таким образом, производная функции \( y = \ln(\sin^3(5x)) \) по переменной \( x \) равна

\[ y' = \frac{15\sin^2(5x)\cos(5x)}{\sin^3(5x)} \]