Question

1. Сумма двух чисел равна 480. Если у первого числа зачеркнуть последнюю цифру, то получится второе число, деленное на 7. Найдите эти числа. 2. Известно, что натуральное число а при делении на 11 дает остаток 7. найдите остаток при делении на 11 числа а^2 + 5a + 1. 3. На прямой отметили несколько точек. Между каждыми соседними точками вставили по три точки. Получили новую систему точек, состоящую из "старых" и "новых" точек. С новой системой проделали ещё раз ту же процедуру. Сколько точек было в начале, если в результате получилось 2017 точек???? 4.Найдите наибольшее возможное значения выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2. При каких значениях переменных оно достигается?

Answer 1

1) Сумма чисел равна 480
x+y=480
Если у 1 числа зачеркнуть посл. цифру, то получится 2 число, деленное на 7.
x=10*a+b; a=y/7; y=7*a
x+y=10*a+b+7*a=17*a+b=480.
То есть это результат деления 480 на 17 с остатком.
480=17*28+4
а=28; b=4; x=284; y=28*7=196
x+y=284+196=480.
2) a=11*k+7
a^2+5a+1=(11k+7)^2+5(11k+7)+1=
121k^2+2*7*11k+49+55k+35+1=
11*(11k^2+14k+5k)+85=11n+77+8
Буквой n я обозначил скобки.
77 тоже делится на 11.
Остаток равен 8.
3) Между каждой парой точек отметили ещё по 3 точки.
Было х точек, то есть (х-1) пар.
Добавили 3(х-1) точек. Стало
x+3x-3=4x-3 точек, это 4x-4 пар.
Добавили ещё 3(4x-4) точек.
Стало 4x-3+12x-12=16x-15=2017
x=(2017+15)/16=2032/16=127
Сначала было 127 точек.
4) f=20x-4y+6z-2x^2-4y^2-3z^2-2=
-(2x^2-20x+4y^2+4y+3z^2-6z+2)=
-[2(x^2-10x+25)-50+(4y^2+4y+1)-1+
+3(z^2-2z+1)-3+2]=
-[2(x-5)^2+(2y+1)^2+3(z-1)^2-52]=
-[2(x-5)^2+(2y+1)^2+3(z-1)^2]+52
Максимальное значение 52 будет при x=5; y=-1/2; z=1.
При этом все три скобки =0

Answer 2

1. Сумма двух чисел равна 480. Если у первого числа зачеркнуть последнюю цифру, то получится второе число, деленное на 7. Найдите эти числа.

Давайте обозначим первое число как x и второе число как y.

Условие гласит, что сумма двух чисел равна 480, то есть x + y = 480.

Также условие гласит, что если у первого числа зачеркнуть последнюю цифру, то получится второе число, деленное на 7. Мы можем записать это в виде уравнения: (x // 10) = (y / 7), где // обозначает целочисленное деление.

Мы можем решить эту систему уравнений, подставив значение x из первого уравнения во второе уравнение:

(480 - y) // 10 = y / 7

Упростим это уравнение:

(480 - y) * 7 = 10y

Раскроем скобки:

3360 - 7y = 10y

Перенесем все переменные на одну сторону уравнения:

17y = 3360

Разделим обе стороны на 17:

y = 3360 / 17

Вычислим значение y:

y ≈ 197.65

Теперь, чтобы найти значение x, мы можем подставить значение y в первое уравнение:

x + 197.65 = 480

Вычислим значение x:

x ≈ 282.35

Таким образом, первое число x ≈ 282.35, а второе число y ≈ 197.65.

2. Известно, что натуральное число a при делении на 11 дает остаток 7. Найдите остаток при делении на 11 числа a^2 + 5a + 1.

У нас есть натуральное число a, которое при делении на 11 дает остаток 7. Мы можем записать это в виде уравнения: a ≡ 7 (mod 11), где ≡ обозначает сравнение по модулю.

Мы хотим найти остаток при делении на 11 числа a^2 + 5a + 1. Мы можем подставить значение a в это выражение и вычислить остаток:

a^2 + 5a + 1 ≡ (7^2) + 5(7) + 1 ≡ 49 + 35 + 1 ≡ 85 ≡ 8 (mod 11)

Таким образом, остаток при делении на 11 числа a^2 + 5a + 1 равен 8.

3. На прямой отметили несколько точек. Между каждыми соседними точками вставили по три точки. Получилась новая система точек, состоящая из "старых" и "новых" точек. С новой системой проделали еще раз ту же процедуру. Сколько точек было в начале, если в результате получилось 2017 точек?

Предположим, что в начале было n точек.

Между каждыми соседними точками мы вставили по три новых точки. Таким образом, каждый отрезок между соседними точками увеличился в 4 раза. После первой процедуры у нас будет 4n точек.

Затем мы проделали ту же процедуру с новой системой точек. Каждый отрезок между соседними точками в новой системе также увеличился в 4 раза. Таким образом, после второй процедуры у нас будет 4(4n) = 16n точек.

Мы знаем, что в результате получилось 2017 точек. Поэтому у нас есть уравнение:

16n = 2017

Разделим обе стороны на 16:

n ≈ 126.06

Таким образом, в начале было около 126 точек.

4. Найдите наибольшее возможное значение выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2. При каких значениях переменных оно достигается?

Мы хотим найти наибольшее возможное значение выражения 20x - 4y + 6z - 2x^2 - 4y^2 - 3z^2 - 2.

Чтобы найти максимальное значение этого выражения, мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для этого возьмем производные по переменным x, y и z и приравняем их к нулю:

d/dx (20x - 2x^2) = 0

d/dy (-4y - 4y^2) = 0

d/dz (6z - 3z^2) = 0

Решив эти уравнения, мы найдем значения переменных x, y и z, при которых выражение достигает максимального значения.

После решения уравнений, мы получим значения переменных x, y и z. Подставим эти значения в исходное выражение и вычислим максимальное значение.

К сожалению, без конкретных значений переменных x, y и z, мы не можем найти точное максимальное значение выражения. Если у вас есть конкретные значения переменных, я могу помочь вам вычислить максимальное значение.