Question

Найдите экстремумы функции f(x)=x-2lnx

Answer 1

Найдём производную:
f`(x)=(x-2lnx)`=1-2/x
Критические точки: x=0
Стационарные точки:
x-2=0
x=2
Ответ: 0; 2

Answer 2

Для того, чтобы найти экстремумы функции f(x)=x-2lnx, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти первую производную функции: f'(x)=1-2/x. 2. Найти точки, в которых производная равна нулю или не существует: f'(x)=0, если x=2; f'(x) не существует, если x=0. 3. Проверить, являются ли эти точки точками экстремума, используя первое или второе достаточное условие экстремума. Для этого можно построить таблицу знаков производной или вычислить вторую производную в этих точках.

| x | 0 | (0; 2) | 2 | (2; +∞) | | f'(x) | не сущ. | - | 0 | + |

Из таблицы видно, что производная меняет знак с минуса на плюс в точке x=2, значит, это точка локального минимума функции. Точка x=0 не является точкой экстремума, так как функция в ней не определена.

4. Найти значения функции в точках экстремума: f(2)=2-2ln2≈0.307.

Ответ: функция имеет локальный минимум в точке x=2, равный f(2)≈0.307.