Question

(2a-1)^5 - разложить используя треугольник Паскаля

Answer 1

(2a)⁵-5·(2a)⁴+10·(2a)³-10·(2a)²+5·(2a)-1=32a⁵-5·16a⁴+10·8a³-10·4a²+10a-1=
=32a⁵-80a⁴+80a³-40a²+10a-1

Answer 2

Чтобы разложить выражение (2a-1)^5 с использованием треугольника Паскаля, мы можем применить бином Ньютона, который связан с треугольником Паскаля.

Треугольник Паскаля - это треугольный массив чисел, в котором каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним. Верхний ряд треугольника содержит только единицу, а каждый следующий ряд строится путем сложения двух чисел из предыдущего ряда.

В нашем случае, (2a-1)^5, у нас есть пять членов в разложении, соответствующих степеням (2a)^5, (2a)^4(-1)^1, (2a)^3(-1)^2, (2a)^2(-1)^3 и (-1)^4(2a)^1(-1)^5.

Используя треугольник Паскаля, мы можем получить коэффициенты перед каждым членом разложения.

Разложение будет выглядеть следующим образом:

(2a-1)^5 = C(5,0)(2a)^5(-1)^0 + C(5,1)(2a)^4(-1)^1 + C(5,2)(2a)^3(-1)^2 + C(5,3)(2a)^2(-1)^3 + C(5,4)(2a)^1(-1)^4 + C(5,5)(2a)^0(-1)^5

где C(n, k) обозначает число сочетаний из n элементов, взятых k в любом порядке.

Теперь нам нужно вычислить каждый член разложения, используя треугольник Паскаля.

Расчет коэффициентов с использованием треугольника Паскаля

Чтобы вычислить каждый коэффициент, мы будем использовать сочетания из треугольника Паскаля. Сочетания определяются формулой C(n, k) = n! / (k!(n-k)!), где n - количество элементов, а k - количество элементов, которые мы выбираем.

В нашем случае, у нас есть (2a)^5, поэтому n = 5, и мы выбираем 0 элементов, поэтому k = 0.

C(5,0) = 5! / (0!(5-0)!) = 1

Для следующего члена (2a)^4(-1)^1 у нас есть n = 4 и k = 1.

C(4,1) = 4! / (1!(4-1)!) = 4

Продолжая этот процесс для остальных членов, мы получим следующие коэффициенты:

C(5,0) = 1 C(5,1) = 5 C(5,2) = 10 C(5,3) = 10 C(5,4) = 5 C(5,5) = 1

Разложение

Теперь мы можем записать разложение с использованием найденных коэффициентов:

(2a-1)^5 = 1(2a)^5(-1)^0 + 5(2a)^4(-1)^1 + 10(2a)^3(-1)^2 + 10(2a)^2(-1)^3 + 5(2a)^1(-1)^4 + 1(2a)^0(-1)^5

Далее, мы можем упростить каждый член, учитывая, что (-1)^0 = 1 и (-1)^1 = -1:

(2a-1)^5 = (2a)^5 + 5(2a)^4(-1) + 10(2a)^3 + 10(2a)^2(-1)^3 + 5(2a)(-1)^4 + (-1)^5

(2a-1)^5 = 32a^5 - 80a^4 + 80a^3 - 40a^2 + 10a - 1

Итак, разложение выражения (2a-1)^5 с использованием треугольника Паскаля равно 32a^5 - 80a^4 + 80a^3 - 40a^2 + 10a - 1.