Question

Упростите выражение: (1 2sinx* cosx/sinx cosx)-sinx

Answer 1

(1+2sinx*cosx)/(sinx+cosx)-sinx=(1+2sinx*cosx-sin^2x-sinx*cosx)/(sinx+cosx)=
=(sinx*cosx+cos^2x)/(sinx+cosx)=((cosx(sinx+cosx))/(sinx+cosx)=cosx

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться формулами тригонометрии.

Сначала рассмотрим числитель выражения: (1 + 2sinx * cosx). Мы можем применить формулу двойного угла, чтобы упростить это выражение. Формула двойного угла для синуса гласит:

sin(2x) = 2sinx * cosx.

Таким образом, числитель можно переписать следующим образом:

1 + sin(2x).

Теперь рассмотрим знаменатель выражения: (sinx + cosx). Мы можем применить формулу суммы двух углов для синуса, чтобы упростить это выражение. Формула суммы двух углов для синуса гласит:

sin(a + b) = sin(a) * cos(b) + cos(a) * sin(b).

Применим эту формулу, где a = x и b = π/4:

sin(x + π/4) = sin(x) * cos(π/4) + cos(x) * sin(π/4).

Используя то, что cos(π/4) = sin(π/4) = √2 / 2, мы можем упростить знаменатель:

sin(x) * (√2 / 2) + cos(x) * (√2 / 2) = (√2 / 2) * (sin(x) + cos(x)).

Таким образом, знаменатель можно переписать следующим образом:

(√2 / 2) * (sin(x) + cos(x)).

Теперь мы можем переписать изначальное выражение:

(1 + sin(2x)) / ((√2 / 2) * (sin(x) + cos(x))) - sin(x).

Далее упростим числитель и знаменатель:

1 + sin(2x) ---------------- - sin(x). (√2 / 2) * (sin(x) + cos(x))

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на (√2 / 2):

(1 + sin(2x)) * (√2 / 2) ------------------------- - sin(x). (sin(x) + cos(x))

Теперь раскроем скобки в числителе:

(√2 / 2) + (√2 / 2) * sin(2x) ----------------------------- - sin(x). (sin(x) + cos(x))

Таким образом, мы получили упрощенное выражение:

(√2 + √2 * sin(2x) - 2sin(x)) / (2 * (sin(x) + cos(x))).