Question

60 Баллов! Срочноо!! Помогите решить!! С решением подалуйста! Найти указанные пределы,используя правило Лопиталя lim e^3x/1-cos5x x стремится к 0

Answer 1

предел отношения функций равен пределу отношения их производных

короче, если в знаменателе получается  0, то отдельно находишь производную числителя и знаменателя и записываешь, и так делать до того, пока знаменатель не будет нормальным)

Answer 2

Конечно, решим данное упражнение с использованием правила Лопиталя. Для начала, давайте рассмотрим предел:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{e^{3x}}{1 - \cos 5x + x}\]

При подстановке \(x = 0\) в знаменатель получим \(1 - \cos(0) + 0 = 1 - 1 + 0 = 0\). Это дает нам неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), что означает, что мы можем применить правило Лопиталя.

Правило Лопиталя позволяет нам находить пределы неопределенностей вида \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\) путем нахождения производных верхней и нижней частей дроби.

1. Найдем производную числителя и знаменателя:

\(\frac{d}{dx}(e^{3x}) = 3e^{3x}\) \(\frac{d}{dx}(1 - \cos 5x + x) = 5\sin 5x + 1\)

2. Теперь найдем предел отношения производных:

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{3e^{3x}}{5\sin 5x + 1}\]

Подставляем \(x = 0\):

\[\frac{3e^0}{5\sin 0 + 1} = \frac{3}{5 \cdot 0 + 1} = \frac{3}{1} = 3\]

Таким образом, исходный предел

\[\lim_{{x \to 0}} \frac{e^{3x}}{1 - \cos 5x + x}\]

равен 3.