Question

Всем доброй ночи)нужна помощь по теме "Интегрирование с заменой переменной" данный метод позволяет преобразовать сложный интеграл в табличный) 1.) 2.)

Answer 1

$\displaystyle \int\limits { \frac{1}{(2-1.5x)\ln(2-1.5x)} } \, dx =\bigg\{2-1.5x=u;\,\,\,\,\, -1.5dx=du\bigg\}=\\ \\ \\ =- \frac{2}{3} \cdot \int\limits { \frac{1}{u\ln u} } \, du =- \frac{2}{3} \int\limits { \frac{1}{\ln u} } \, d(\ln u)=- \frac{2}{3} \ln|\ln u|+C=\\ \\ \\ =- \frac{2}{3} \ln \bigg|\ln\bigg(2- \frac{3}{2} x\bigg) \bigg|+C$


$\displaystyle \int\limits { \frac{(4+tg2x)^3}{\cos^22x} } \, dx =\bigg\{u=2x;\,\,\,\, du=2dx\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits { \frac{(4+tg u)^3}{\cos^2u} } \, du= \bigg\{tg u=t;\,\,\,\, \frac{1}{\cos^2u} du=dt\bigg\}=\\ \\ \\ = \frac{1}{2} \int\limits {(t+4)^3} \, dt= \frac{1}{8} (t+4)^4+C= \frac{1}{8} (tg2x+4)^4+C$

Answer 2

Доброй ночи!

Интегрирование с заменой переменной - это метод, который позволяет преобразовать сложный интеграл в более простой интеграл с помощью замены переменной. Этот метод основан на теореме о замене переменной в определенном интеграле.

1) Чтобы применить метод интегрирования с заменой переменной, нужно сначала выбрать подходящую замену переменной. Обычно выбирают такую замену, которая позволяет упростить интеграл и избавиться от сложных функций.

2) После выбора замены переменной необходимо найти новую переменную и выразить ее через старую переменную. Также нужно выразить дифференциал новой переменной через дифференциал старой переменной.

3) Подставляем выбранную замену переменной в исходный интеграл и преобразуем его с использованием новой переменной. При этом границы интегрирования также должны быть выражены через новую переменную.

4) Решаем полученный интеграл с использованием новой переменной. После нахождения результата, необходимо вернуться к исходной переменной, заменив новую переменную на старую.

Важно помнить, что при выборе замены переменной нужно учитывать, что она должна быть обратимой функцией, то есть должна быть возможность выразить старую переменную через новую.

Надеюсь, что данная информация поможет вам в изучении метода интегрирования с заменой переменной. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!