Question

(49^x)-(6*7^x)-7=0 (49^x)-(6*7^x)-7=0

Answer 1

.............................................

Answer 2

$1)49^{x}-6*7^{x}-7=0 \\ 7^{2x}-6*7^{x}-7 =0\\ 7^{x}=y; \\ y^{2}-6y-7=0 \\ D=36+28=64;y_{1}=(6+8):2=7;y_{2}=(6-8):2=-1 \\ 7^{x}=7; 7^{x} \neq -1 \\ 7^{x}=7^{1} \\ x=1$

Ответ: 1

Answer 3

Это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно переменной \(x\). Давайте решим его.

Уравнение имеет вид: \[49^x - 6 \cdot 7^x - 7 = 0\]

Давайте введем замену. Обозначим \(7^x\) за \(y\). Тогда уравнение примет вид: \[49^x - 6 \cdot 7^x - 7 = y^2 - 6y - 7 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \(y\): \[y^2 - 6y - 7 = 0\]

Для решения используем квадратное уравнение \(ay^2 + by + c = 0\). Здесь \(a = 1\), \(b = -6\), и \(c = -7\).

Дискриминант \(\Delta\) вычисляется как \(b^2 - 4ac\): \[\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64\]

Так как \(\Delta > 0\), у уравнения два различных корня \(y_1\) и \(y_2\), которые находятся по формулам: \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\]

\[y_1 = \frac{6 + 8}{2} = 7\] \[y_2 = \frac{6 - 8}{2} = -1\]

Теперь мы заменяем обратно переменную: \[7^x = 7 \quad \text{или} \quad 7^x = -1\]

Для уравнения \(7^x = 7\) решение очевидно: \(x = 1\).

Для уравнения \(7^x = -1\) нет действительных решений, так как любое положительное число возводимое в любую степень всегда будет положительным.

Таким образом, у исходного уравнения \(49^x - 6 \cdot 7^x - 7 = 0\) есть единственное действительное решение \(x = 1\).