Question

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x²+5x+6, прямыми x= -1, x=2 и осью абсцисс.

Answer 1

Парабола у=х²+5х+6 пересекает ось ох в точках =-3 и х =-2
На [-1;2] кривая расположена выше оси ох.
По определению площадь криволинейной трапеции равна

$S= \int\limits^2_{-1} {( x^{2} +5x+6)} \, dx= (\frac{ x^{3} }{3}+5 \frac{ x^{2} }{2}+6x)| _{-1} ^{2}= \\ = \frac{8}{3}- \frac{(-1)}{3}+2,5(4-(-1) ^{2})+12-(-6)=3+7,5+18=28,5$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x²+5x+6, прямыми x=-1, x=2 и осью абсцисс, мы можем использовать метод интегрирования.

Нахождение точек пересечения

Первым шагом нам нужно найти точки пересечения графика функции f(x) с прямыми и осью абсцисс. Для этого можем решить уравнение f(x) = 0:

x² + 5x + 6 = 0

Решая это квадратное уравнение, получим два корня:

x₁ = -3 x₂ = -2

Таким образом, график функции f(x) пересекает ось абсцисс в точке x = -3 и x = -2.

Интегрирование

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком функции f(x), прямыми x=-1, x=2 и осью абсцисс, мы можем разделить эту фигуру на две части: одна часть находится между графиком функции f(x) и осью абсцисс, а другая часть находится между графиком функции f(x) и прямыми x=-1 и x=2.

Для первой части (между графиком и осью абсцисс), мы можем интегрировать функцию f(x) от x = -3 до x = -2:

S₁ = ∫[x₁, x₂] f(x) dx

S₁ = ∫[-3, -2] (x² + 5x + 6) dx

Вычисление интеграла

Для вычисления этого интеграла, мы можем использовать правило интегрирования для квадратных функций:

∫(x² + 5x + 6) dx = (1/3)x³ + (5/2)x² + 6x

Интегрируя это выражение от x = -3 до x = -2, получим:

S₁ = [(1/3)(-2)³ + (5/2)(-2)² + 6(-2)] - [(1/3)(-3)³ + (5/2)(-3)² + 6(-3)]

S₁ = [(-8/3) + (20/2) - 12] - [(-27/3) + (45/2) - 18]

S₁ = [-8/3 + 10 - 12] - [-9 + 22.5 - 18]

S₁ = [-8/3 - 2] - [-9 + 22.5 - 18]

S₁ = -8/3 - 2 + 9 - 22.5 + 18

S₁ = 4.5 - 5.5

S₁ = -1

Вычисление площади второй части

Для второй части (между графиком и прямыми x=-1 и x=2), мы можем интегрировать функцию f(x) от x = -1 до x = 2:

S₂ = ∫[-1, 2] f(x) dx

S₂ = ∫[-1, 2] (x² + 5x + 6) dx

Вычисление интеграла

Используя ту же формулу для интегрирования квадратных функций, получим:

S₂ = [(1/3)(2)³ + (5/2)(2)² + 6(2)] - [(1/3)(-1)³ + (5/2)(-1)² + 6(-1)]

S₂ = [(8/3) + (20/2) + 12] - [(-1/3) + (5/2) - 6]

S₂ = [8/3 + 10 + 12] - [-1/3 + 5/2 - 6]

S₂ = [8/3 + 10 + 12] - [-1/3 + 2.5 - 6]

S₂ = [8/3 + 10 + 12] - [-1/3 - 1.5 - 6]

S₂ = 8/3 + 10 + 12 + 1/3 + 1.5 + 6

S₂ = 32/3 + 10 + 12 + 1/3 + 1.5

S₂ = 10 + 12 + 1/3 + 1.5

S₂ = 23.833

Подсчет общей площади

Чтобы найти общую площадь фигуры, мы складываем площади обеих частей:

S = S₁ + S₂

S = -1 + 23.833

S = 22.833

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=x²+5x+6, прямыми x=-1, x=2 и осью абсцисс, составляет 22.833.