Question

Помогите пожалуйста, не могу решить данный неопределенный интеграл. (x^3+x)/(x^4+1) dx

Answer 1

$\int\limits {\frac{x^3 + x}{x^4+1}} \, dx = \int\limits {\frac{x^3}{x^4+1}} \, dx + \int\limits {\frac{x}{x^4+1}} \, dx$$= \frac{1}{4} \int\limits {\frac{dx^4}{x^4+1}} + \frac{1}{2} \int\limits {\frac{dx^2}{x^4+1}} = \frac{1}{4} ln(x^4+1) + \frac{1}{2} arctg (x^2) + C$

Здесь использовались замены $d(x^4) = 4 x^3 dx, d(x^2) = 2x dx$
И табличные интегралы $\int\limits {\frac{1}{y+1}} \, dx = ln|y + 1| + C \\ \int\limits {\frac{1}{y^2+1}} \, dx = arctg(y) + C$

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла можно воспользоваться методом частичных дробей. Давайте разложим дробь на простейшие:

\[ \frac{x^3 + x}{x^4 + 1} = \frac{x^3 + x}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = \frac{x^3 + x}{(x^2 + 1)(x+1)(x-1)} \]

Теперь представим исходную дробь в виде суммы двух дробей с неизвестными коэффициентами:

\[ \frac{x^3 + x}{(x^2 + 1)(x+1)(x-1)} = \frac{A}{x^2 + 1} + \frac{Bx + C}{x+1} + \frac{Dx + E}{x-1} \]

Далее нужно найти неизвестные коэффициенты \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) и \(E\), подставив данное представление обратно в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях \(x\). После нахождения коэффициентов можно проинтегрировать каждую из дробей по отдельности.

После нахождения коэффициентов и интегрирования каждой из дробей, получим окончательный результат. Напоминаю, что процесс нахождения коэффициентов может быть довольно объемным и требует внимательности, поэтому я могу предоставить код для вычисления коэффициентов и решения данного интеграла, если вы хотите.