Question

Напиши все решения уравнения cosx+cos^2x=1/2-sin^2x

Answer 1

Дано уравнение cosx+cos^2x=1/2-sin^2x.
Заменим sin^2x на 1-cos^2x.
cosx+cos^2x=1/2-1+cos^2x.
Тогда cosx = -1/2.
х = Arc cos(-1/2) = (-2π/3)+2πk, k ∈ Z.
x = (2π/3)+2πk, k ∈ Z.

Answer 2

Уравнение, которое вы предоставили, является тригонометрическим уравнением. Давайте найдем все его решения.

Начнем с уравнения: cos(x) * cos^2(x) = 1/2 - sin^2(x)

Мы можем использовать тригонометрические тождества для переписывания уравнения в другой форме. Для этого мы заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x) (с помощью тождества cos^2(x) = 1 - sin^2(x)):

cos(x) * (1 - sin^2(x)) = 1/2 - sin^2(x)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

cos(x) - cos(x) * sin^2(x) = 1/2 - sin^2(x)

Теперь сгруппируем все слагаемые, содержащие sin^2(x) на одной стороне уравнения:

cos(x) = 1/2 - sin^2(x) + cos(x) * sin^2(x)

Обратите внимание, что мы также добавили cos(x) * sin^2(x) к обеим сторонам уравнения.

Теперь можем заметить, что 1/2 - sin^2(x) можно переписать в виде cos^2(x) (используя тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x)):

cos(x) = cos^2(x) + cos(x) * sin^2(x)

Далее, вынесем общий множитель cos(x) из правой части уравнения:

cos(x) = cos(x) * (1 + sin^2(x))

Теперь можем разделить обе стороны на cos(x), предполагая, что cos(x) не равно нулю:

1 = 1 + sin^2(x)

Из этого уравнения видно, что sin^2(x) должно быть равно нулю. Это возможно только в случае, когда sin(x) = 0.

Таким образом, мы получаем два решения для уравнения: x = 0 и x = pi.

Решение: Уравнение cos(x) * cos^2(x) = 1/2 - sin^2(x) имеет два решения: x = 0 и x = pi.