Question

При каких значениях а уравнение имеет только один корень. 4^x - 2^x+2 +4a-a^2=0

Answer 1

4^x-2^(x+2)+4a-a²=0
(2^x)²-2² *2^x+4a-a²=0 показательное квадратное уравнение. замена переменных: 2^x=t, t>0
t²-4t+(4a-a²)=0
D=(-4)²-4*1*(4a-a²)=16-16a+4a²
D=0, => один корень
D=0, 4a²-16a+16=0
4*(a²-4a+4)=0, 4*(a-2)²=0, =>a=2

подставим значение а=2 в уравнение, получим:
4^x-4*2^x+4*2-2²=0. 4^x-4*2^x+4=0
(2^x)²-4*2^x+4=0, (2^x-2)²=0. 2^x-2=0. 2^x=2. 2^x=2¹. x=1

ответ: при а=2 уравнение имеет один корень

Answer 2

Данное уравнение 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2 = 0 можно решить, исследовав его поведение при различных значениях параметра a. Когда уравнение имеет только один корень?

Параметр a и количество корней уравнения

Параметр a влияет на количество корней уравнения. Чтобы понять, при каких значениях a у уравнения 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2 = 0 будет только один корень, следует проанализировать уравнение и его параметры.

Уравнение 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2 = 0 можно рассматривать как уравнение вида f(x) = 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2.

Анализ функции f(x)

Для начала рассмотрим функцию f(x) = 4^x - 2^x. Эта функция имеет следующие свойства:

1. f(0) = 3 2. f(x) убывает на интервале (-∞, 0) и возрастает на интервале (0, +∞) 3. f(x) стремится к плюс бесконечности при x -> +∞ и к 3 при x -> -∞

Теперь добавим к функции f(x) константы 2 + 4a - a^2. Это добавление сдвигает график функции вверх или вниз на величину этой константы.

Количество корней уравнения

Теперь, рассмотрев поведение функции f(x) = 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2, можно сделать вывод о количестве корней уравнения в зависимости от значения параметра a:

1. Если 4a - a^2 > 3, то график функции f(x) будет выше оси OX и уравнение будет иметь два корня. 2. Если 4a - a^2 = 3, то график функции f(x) будет касаться оси OX и уравнение будет иметь один корень. 3. Если 4a - a^2 < 3, то график функции f(x) будет ниже оси OX и уравнение не будет иметь корней.

Заключение

Таким образом, уравнение 4^x - 2^x + 2 + 4a - a^2 = 0 будет иметь только один корень при значении параметра a, равном корню уравнения 4a - a^2 = 3.