Question

В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. Шары извлекаются таким образом что каждый извлеченный шар возвращается обратно в сосуд. Определить вероятность того, что при 250 извлечениях белый шар появится 100 раз. Как решить

Answer 1

Вероятность появления белого шара p = 3/7, вероятность появления чёрного шара q = 4/7. Схема Бернулли: вероятность того, что успех случится 100 раз из 250, равна
$C_{250}^{100}p^{100}q^{250-100}$

Можно заморочиться и посчитать точно, что эта вероятность равна 636522120602316962436409895601286821518590002587367804667920915910562009586884711327793703549853115718094348743586401297080998337769446404536214437849453126758036855250784826528799004094645437287261942012968960/18815250448759004797747440398770460753278965824274520564699796772813240860593715176907610212053994345747048043436940455072863886866361465162101062196720299016151483118251038883996011300645825474625761742043131249 = 0,0338...

Однако считать это вручную — некоторая морока, поэтому проще воспользоваться приближенными методами. Например, подойдёт теорема Муавра-Лапласа. В соответствии с ней вероятность получить k успехов в n испытаниях Бернулли равна
$P_n(k)\approx\dfrac1{\sqrt{npq}}\varphi\left(\dfrac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)$,
где $\varphi(t)$ — функция Лапласа (плотность вероятности нормального распределения), значения которой берутся из таблицы.

$\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{250\cdot\dfrac37\cdot\dfrac47}\approx 7.8\\ \left|\dfrac{k-np}\sigma\right|\approx\dfrac{7.1}{7.8}\approx0.91\\ P_{250}(100)\approx\dfrac1{7.8}\cdot\varphi(-0.91)\approx\dfrac1{7.8}\cdot0.2637\approx0.0338$

Answer 2

Определение вероятности появления белого шара

Для определения вероятности появления белого шара при 250 извлечениях, нам необходимо учесть следующие факты:

- В сосуде находится 3 белых и 4 черных шара. - После каждого извлечения шар возвращается обратно в сосуд.

Мы можем использовать комбинаторику для решения этой задачи. Вероятность появления белого шара можно выразить как отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов.

Расчет вероятности

Чтобы рассчитать вероятность появления белого шара 100 раз при 250 извлечениях, мы можем использовать формулу биномиального распределения. Формула для расчета вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Где: - P(X=k) - вероятность того, что событие X произойдет k раз - C(n, k) - число сочетаний из n по k - p - вероятность появления белого шара в одном извлечении - n - общее количество извлечений

В нашем случае, p = 3/7 (вероятность появления белого шара), n = 250 (общее количество извлечений) и k = 100 (количество раз, когда белый шар должен появиться).

Решение

Подставляя значения в формулу, мы можем рассчитать вероятность появления белого шара 100 раз при 250 извлечениях:

P(X=100) = C(250, 100) * (3/7)^100 * (4/7)^(250-100)

Вычисления могут быть сложными, поэтому рекомендуется использовать калькулятор или программу для вычисления этой формулы.

Примечание

Обратите внимание, что в данном ответе не приведены конкретные значения для вероятности, так как для этого требуется выполнить вычисления с использованием формулы биномиального распределения.