Question

Натуральные числа m и n ,таковы что m >n ,m же делится на n и имеет от деления на n тот же остаток ,что и m+n от деления на m-n .Найдите отношение m:n

Answer 1

В условии задачи ошибка, нужно так:

 ..., m не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток ...

 

Решение:

a,b - натуральные числа (целые части от деления)

r -остаток от деления

m=na+r

m+n=(m-n)b+r

m+n-r=(m-n)b

n+m-r делится на n и m-n
Если m<=2n, то
n<n+m-r<3n, следовательно оно равно 2n
Тогда m-n=r и при делении на него не может быть остатка r.
Значит m>2n
Тогда
n+m-r<3(m-n), т.к. 4n<2m
Значит n+m-r=2(m-n), т.к. m-n на n по условию не делится.
Отсюда m=3n-r,
m+n-r=4n-2r делится на n, отсюда r=n/2.
Значит m=5k, n=2k

m:n=5:2

 

Answer 2

Во вложении. Ответ (м-n)/n

 

У меня получилось так, но у не уверена

Answer 3

Дано, что m > n и m делится на n, то есть m = kn для некоторого целого k.

Также дано, что при делении m на n и m+n на m-n получается одинаковый остаток. Обозначим этот остаток как r.

Тогда m = qn + r, где q - целое число. Также m + n = p(m - n) + r, где p - целое число.

Раскроем скобки во втором уравнении: m + n = pm - pn + r n + pn = (p-1)m + r

Так как m = kn, то pn = (p-1)kn + r pn = pkn - kn + r pn = (pk - k)n + r pn - (pk - k)n = r n(p - k) = r

Таким образом, мы получили, что n делится на r.

Но ранее мы уже доказали, что m делится на n, а m = kn, поэтому n делится на m.

Отсюда следует, что наибольший общий делитель чисел m и n равен n.

Таким образом, отношение m:n равно m/n = kn/n = k.

Ответ: отношение m:n равно k.