Question

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график функции f(x)= x^2 -3x + 2 - |x^2 - 5x +4| - a пересекает ось абсцисс не менее, чем в трёх различных точках.

Answer 1

F(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a = (x - 1)(x - 2) - |(x - 1)(x - 4)| - a
Рассмотрим разные случаи для модуля.
При x < 1 под модулем будет (x - 1)(x - 4) > 0
f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a = -3x + 2 + 5x - 4 - a = 2x - 2 - a
Это прямая, она пересекает ось абсцисс в точке
2x - 2 - a = 0
x = (2 + a)/2 < 1
2 + a < 2
a < 0
Значит, при a < 0 и x < 1 получится прямая f(x) = 2x - 2 - a
Она пересекает ось Ох в точке x1 = (2 + a)/2 = 1 + a/2

При x > 4 под модулем будет (x - 1)(x - 4) > 0
f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a = -3x + 2 + 5x - 4 - a = 2x - 2 - a
Это прямая, она пересекает ось абсцисс в точке
2x - 2 - a = 0
x = (2 + a)/2 > 4
2 + a > 8
a > 6
Значит, при a > 6 и x > 4 получится прямая f(x) = 2x - 2 - a
Она пересекает ось Ох в точке x2 = (2 + a)/2 = 1 + a/2

Значения a < 0 и a > 6 не пересекаются, значит, из этих двух прямых только одна пересекает ось абсцисс. Это 1 пересечение.

При 1 < x < 4 под модулем будет (x - 1)(x - 4) < 0
f(x) = x^2-3x+2 + (x^2-5x+4) - a = 2x^2-3x-5x+2+4-a = 2x^2 - 8x + 6 - a
Это парабола. Если она будет пересекать ось Ох в 2 точках,
то всего будет 3 пересечения, что нам и надо.
Значит, это уравнение должно иметь 2 корня.
2x^2 - 8x + (6-a) = 0
D = 8^2 - 4*2(6-a) = 64 - 8(6-a) > 0
8 - (6 - a) > 0
2 + a > 0
a > -2

Итак, получили:
1) Прямая f(x) = 2x - 2 - a пересекает ось Ох при a > 0 в точке x < 1
и при a > 6 в точке x > 4
2) Парабола f(x) = 2x^2 - 8x + 6 - a пересекает ось Ох при a > -2
Три точки пересечения будет при a ∈ (-2; 0)

Answer 2

Для того чтобы найти все значения параметра а, при которых график функции пересекает ось абсцисс не менее чем в трёх различных точках, нужно найти все значения x, при которых функция f(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a равна нулю.

Разобьём решение на два случая в зависимости от знака выражения |x^2 - 5x + 4|.

Случай 1: x^2 - 5x + 4 ≥ 0 В этом случае модуль |x^2 - 5x + 4| равен самому выражению x^2 - 5x + 4, и функция f(x) = x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 5x + 4) - a. Упрощаем выражение: f(x) = -2x + 2 - a.

Для того чтобы график функции пересекал ось абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = -2x + 2 - a = 0 имело не менее трёх различных корней.

Решим уравнение -2x + 2 - a = 0 относительно x: -2x = -2 + a, x = 1 - a/2.

Таким образом, при a ≤ 2 график функции пересекает ось абсцисс не менее, чем в трёх различных точках.

Случай 2: x^2 - 5x + 4 < 0 В этом случае модуль |x^2 - 5x + 4| равен противоположному числу выражению x^2 - 5x + 4, и функция f(x) = x^2 - 3x + 2 - (-(x^2 - 5x + 4)) - a. Упрощаем выражение: f(x) = 2x^2 - 8x + 6 - a.

Для того чтобы график функции пересекал ось абсцисс, необходимо и достаточно, чтобы f(x) = 2x^2 - 8x + 6 - a = 0 имело не менее трёх различных корней.

Решим уравнение 2x^2 - 8x + 6 - a = 0 относительно x: D = (-8)^2 - 4*2*(6 - a) = 64 - 8(6 - a) = 64 - 48 + 8a = 16 + 8a.

Уравнение имеет два корня, если D > 0: 16 + 8a > 0, 8a > -16, a > -2.

Таким образом, при a > -2 график функции пересекает ось абсцисс не менее, чем в трёх различных точках.

Совместим результаты двух случаев: a ≤ 2 и a > -2, -2 < a ≤ 2.

Итак, все значения параметра a, при каждом из которых график функции f(x) = x^2 - 3x + 2 - |x^2 - 5x + 4| - a пересекает ось абсцисс не менее, чем в трёх различных точках, это -2 < a ≤ 2.