Question

В квадрат 1 на 1 бросили 51 точку. докажите что найдётся прямоугольник со сторонами 1/5 и 3/13.., содержащий не менее трёх точек.

Answer 1

Замостим квадрат этими прямоугольниками. Т.к. сторона 1/5 помещается ровно 5 раз в стороне квадрата, а сторона 3/13 укладывается 13/3=4 целых и 1/3 раза, то весь квадрат разобьется на 4*5=20 полных прямоугольников и еще 5 прямоугольных кусков. Всего 25 прямоугольников. По принципу ящиков Дирихле, существует прямоугольник в который попало как минимум 3 точки (иначе во всех ящиках было бы не более чем 25*2=50 точек, а у нас их 51).

Answer 2

Для доказательства этого утверждения воспользуемся принципом Дирихле.

Рассмотрим квадрат со стороной 1 на 1. Пусть внутри этого квадрата мы расставляем 51 точку. Так как площадь квадрата равна 1, то среди этих 51 точки обязательно найдутся две точки, расстояние между которыми будет меньше или равно 1/√51.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами 1/5 и 3/13. Если между двумя точками расстояние меньше или равно 1/√51, то эти точки обязательно будут содержаться внутри прямоугольника.

Таким образом, если в квадрате 1 на 1 мы расставим 51 точку, то обязательно найдется прямоугольник со сторонами 1/5 и 3/13, содержащий не менее трех точек.