Question

Добрый день, помогите с 1 заданием нати площадь фигуры у=x^2 y=2-x^2

Answer 1

Можно заметить что площадь искомой фигуры S=4SOAB
                                                   1                     1
SOAB=SOABC-SBCO=1*1-  ∫ x²dx=1- (x³/3) = 1-(1/3-0)=1-1/3=2/3
                                                   0                     0
S=4*2/3=8/3=2 2/3 квадратных единицы

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам с этим заданием!

Формула у вас выглядит как у=x^2 + y = 2 - x^2. Чтобы найти площадь фигуры, вам нужно определить границы интегрирования и затем проинтегрировать функцию по этим границам.

Давайте начнем с определения границ интегрирования. В данном случае, у нас есть две функции: у = x^2 и y = 2 - x^2. Мы можем решить их на пересечении, чтобы найти значения x, где они равны:

x^2 = 2 - x^2

2x^2 = 2

x^2 = 1

x = ±1

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-1, 0) и (1, 0).

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы можем проинтегрировать функцию y от x = -1 до x = 1. Формула для площади между функциями y = f(x) и y = g(x) в интервале [a, b] выглядит следующим образом:

S = ∫[a,b] |f(x) - g(x)| dx

В данном случае, наша функция f(x) = x^2, а функция g(x) = 2 - x^2. Таким образом, площадь фигуры будет равна:

S = ∫[-1,1] |x^2 - (2 - x^2)| dx

S = ∫[-1,1] |2x^2 - 2| dx

Теперь мы можем проинтегрировать это выражение. Давайте разделим его на две части:

S = ∫[-1,1] (2x^2 - 2) dx + ∫[-1,1] (2 - 2x^2) dx

Первое слагаемое:

∫[-1,1] (2x^2 - 2) dx = [2/3 * x^3 - 2x] [-1,1] = (2/3 * 1^3 - 2 * 1) - (2/3 * (-1)^3 - 2 * (-1)) = (2/3 - 2) - (-2/3 - 2) = 2/3 + 2/3 = 4/3

Второе слагаемое:

∫[-1,1] (2 - 2x^2) dx = [2x - 2/3 * x^3] [-1,1] = (2 * 1 - 2/3 * 1^3) - (2 * (-1) - 2/3 * (-1)^3) = (2 - 2/3) - (-2 + 2/3) = 6/3 - 4/3 = 2/3

Теперь сложим оба слагаемых:

S = 4/3 + 2/3 = 6/3 = 2

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной у = x^2 и y = 2 - x^2 в интервале [-1, 1], равна 2.