Question

Исследование и построения графика функции с помощью производной. F(x)=2x^2+9x^2+12

Answer 1

Это надо всё сплюсовать

Answer 2

Исследование функции F(x) = 2x^2 + 9x + 12 и построение графика с помощью производной

Для начала, чтобы исследовать функцию F(x) = 2x^2 + 9x + 12, мы можем применить производную функции, чтобы найти ее экстремумы, точки перегиба и поведение в окрестности этих точек. Затем мы сможем построить график функции, используя полученные результаты.

1. Нахождение производной функции

Для нахождения производной функции F(x), мы применяем правила дифференцирования по отдельности для каждого члена функции. Для этой функции имеем:

F(x) = 2x^2 + 9x + 12

Применим правило дифференцирования для каждого члена:

F'(x) = d/dx (2x^2) + d/dx (9x) + d/dx (12)

Дифференцируя каждый член, получаем:

F'(x) = 4x + 9

Таким образом, производная функции F(x) равна F'(x) = 4x + 9.

2. Нахождение экстремумов

Экстремумы функции F(x) могут быть найдены, приравняв производную F'(x) к нулю и решив полученное уравнение:

4x + 9 = 0

Решая это уравнение, получаем:

4x = -9

x = -9/4

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -9/4.

3. Исследование поведения функции в окрестности критической точки

Для исследования поведения функции F(x) в окрестности критической точки, мы можем использовать знак производной F'(x) на разных интервалах. Для этого, выберем тестовые точки в интервалах (-∞, -9/4) и (-9/4, +∞).

Выберем x = -5, который находится в интервале (-∞, -9/4). Подставим его в производную F'(x):

F'(-5) = 4*(-5) + 9 = -20 + 9 = -11

Таким образом, в интервале (-∞, -9/4), производная F'(x) отрицательна, что означает, что функция F(x) убывает в этом интервале.

Выберем x = 0, который находится в интервале (-9/4, +∞). Подставим его в производную F'(x):

F'(0) = 4*0 + 9 = 9

Таким образом, в интервале (-9/4, +∞), производная F'(x) положительна, что означает, что функция F(x) возрастает в этом интервале.

Теперь мы знаем, что у функции есть локальный минимум в точке x = -9/4 и она убывает в интервале (-∞, -9/4) и возрастает в интервале (-9/4, +∞).

4. Построение графика функции F(x)

Теперь, используя полученные результаты, мы можем построить график функции F(x) = 2x^2 + 9x + 12.


На графике видно, что функция имеет локальный минимум в точке x = -9/4 и она убывает в интервале (-∞, -9/4) и возрастает в интервале (-9/4, +∞). Также, функция имеет ветви параболы, открывающиеся вверх, что свидетельствует о положительном коэффициенте при x^2.

Надеюсь, это помогло вам понять, как исследовать функцию и построить ее график с помощью производной. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать!