Question

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = 7 + 12x - х^3

Answer 1

f(x) = 7 + 12x - х³
f ' (x)=12-3x²
0=12-3x²
-x²+4=0
x²-4=0
(x-2)(x+2)=0
Возрастает(-бесконечности; -2) V(2:+бесконечности
убывает (-2;2)
наибольшее значение фунции в точке x=-2 : наименьшее значение функции в точке x=2:
подставим в функцию точку x=-2
f(-2)=7+12*(-2)-(-2)³=7-24+8=15-24=-9
подставим в функцию точку x=2
f(2)=7+12*2-2³=7+24-8=31-8=23

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) = 7 + 12x - x^3, мы можем использовать методы анализа функций. Давайте начнем с нахождения экстремумов функции.

Нахождение экстремумов функции

Для нахождения экстремумов функции, мы сначала найдем производную функции f(x) и приравняем ее к нулю. Затем найдем значения x, при которых производная равна нулю или не существует.

Для функции f(x) = 7 + 12x - x^3, возьмем производную и приравняем ее к нулю:

f'(x) = 12 - 3x^2

12 - 3x^2 = 0

Решим это уравнение:

3x^2 = 12

x^2 = 4

x = ±2

Таким образом, у нас есть две критические точки x = 2 и x = -2.

Определение типа экстремума

Для определения типа экстремума (максимум или минимум), мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна, то это будет минимум, а если она отрицательна, то это будет максимум.

Для функции f(x) = 7 + 12x - x^3, возьмем вторую производную:

f''(x) = -6x

Подставим критические точки x = 2 и x = -2 во вторую производную:

f''(2) = -6(2) = -12 (отрицательное значение)

f''(-2) = -6(-2) = 12 (положительное значение)

Таким образом, у нас есть максимум в точке x = -2 и минимум в точке x = 2.

Нахождение значений функции в экстремумах

Теперь, когда мы знаем местоположение экстремумов, мы можем найти соответствующие значения функции.

Для x = 2: f(2) = 7 + 12(2) - 2^3 = 7 + 24 - 8 = 23

Для x = -2: f(-2) = 7 + 12(-2) - (-2)^3 = 7 - 24 + 8 = -9

Наибольшее и наименьшее значения функции

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) = 7 + 12x - x^3 равно 23 и достигается при x = 2, а наименьшее значение равно -9 и достигается при x = -2.