Question

Решите уравнение с модулями. ||x+3|-|x-5||=8

Answer 1

//////////////////////////////////////////////////

Answer 2

$||x+3|-|x-5||=8 \\ \\ \left[\begin{array}{ccc}|x+3|-|x-5|=8\\-|x+3|+|x-5|=8\end{array}\right$

Решим отдельно

|x+3|-|x-5|=8

В систему

{x+3≥0
{x+3-|x-5|=8

{x≥-3
{x+3-|x-5|=8

{x≥-3
{x-5≥0
{x+3-(x-5)=8

{x≥-3                        {x≥5
{x≥5                ⇒      {8=8   ⇒ x≥5
{x+3-x+5=8

----------------------------------

{x≥-3                          { -3≤x<5
{x-5<0                 ⇒    {x=5        Подставим в неравенство 5 и
{x+3+x-5=8                         получаем что решений не имеет 

Ответ уравнение |x+3|-|x-5|=8 будет х≥5

-|x+3|+|x-5|=8

{x+3≥0
{-(x+3)+|x-5|=8

{x≥-3
{-x-3+|x-5|=8

{x≥-3                   {x≥5
{x-5≥0            ⇒  {-8=8     - решений нет!
{-x-5+x-5=8

{x≥-3                  { -3≤x<5
{x-5<0          ⇒   {x=-3          ⇒ x=-3
{-x-3-x+5=8


{x<-3                   {x<-3
{x-5≥0           ⇒   {x≥5        - решений нет
{x+3+x-5=8         {x=5


{x<-3                  {x<5
{x-5<0            ⇒ {x<-5      ⇒ x<-3
{x+3-x+5=8         {8=8

Ответ:  х любое для переменных х≥5,
            х=-3
            х-дюбое для переменных х<-3

Answer 3

Давайте решим уравнение с модулями: ||x + 3| - |x - 5|| = 8.

Для начала, давайте разберемся со значением модуля. Модуль числа представляет собой абсолютное значение этого числа, то есть его расстояние от нуля на числовой прямой. Например, модуль числа 5 равен 5, а модуль числа -5 также равен 5.

Итак, у нас есть уравнение с двумя модулями. Чтобы решить его, мы можем рассмотреть несколько случаев. Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности:

Случай 1: x + 3 ≥ 0 и x - 5 ≥ 0. В этом случае оба модуля становятся просто значениями внутри модулей. Таким образом, уравнение принимает вид: (x + 3) - (x - 5) = 8. Раскрываем скобки: x + 3 - x + 5 = 8. Упрощаем: 8 = 8. Здесь получаем тождественное равенство, что означает, что любое значение x, удовлетворяющее условиям x + 3 ≥ 0 и x - 5 ≥ 0, является решением этого уравнения.

Случай 2: x + 3 ≥ 0 и x - 5 < 0. В этом случае первый модуль становится значением внутри модуля, а второй модуль будет с отрицательным значением. Таким образом, уравнение принимает вид: (x + 3) - -(x - 5) = 8. Раскрываем скобки: x + 3 + x - 5 = 8. Упрощаем: 2x - 2 = 8. Переносим -2 на другую сторону: 2x = 10. Делим на 2: x = 5. Здесь мы получаем конкретное значение x, которое является решением этого уравнения.

Случай 3: x + 3 < 0 и x - 5 ≥ 0. В этом случае первый модуль будет с отрицательным значением, а второй модуль становится значением внутри модуля. Таким образом, уравнение принимает вид: -(x + 3) - (x - 5) = 8. Раскрываем скобки: -x - 3 - x + 5 = 8. Упрощаем: -2x + 2 = 8. Переносим 2 на другую сторону: -2x = 6. Делим на -2: x = -3. Здесь мы также получаем конкретное значение x, которое является решением этого уравнения.

Случай 4: x + 3 < 0 и x - 5 < 0. В этом случае оба модуля будут с отрицательными значениями. Исключаем этот случай, так как он не удовлетворяет начальному уравнению.

Итак, решение уравнения ||x + 3| - |x - 5|| = 8 состоит из двух значений: x = 5 и x = -3.