Question

Определить промежутки возрастания и убывания функции y=x^4-4x+4

Answer 1

1. D=R
2. y'=(x⁴-4x+4)'=4x³-4
3. y'=0, 4x³-4=0, x=1
4. определим знаки производной на интервалах:
(-∞;1)  y'<0, => на этом интервале функция убывает
(1;∞) y'>0, => на этом интервале функция возрастает

Answer 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции \( y = x^4 - 4x + 4 \) сначала найдем ее производную. После этого мы сможем анализировать знаки производной, чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

Нахождение производной функции

Для начала найдем производную функции \( y = x^4 - 4x + 4 \):

\[ y' = 4x^3 - 4 \]

Анализ знаков производной

Теперь проанализируем знаки производной \( y' = 4x^3 - 4 \). 1. Найдем точки, в которых производная равна нулю: \[ 4x^3 - 4 = 0 \] \[ 4x^3 = 4 \] \[ x^3 = 1 \] \[ x = 1 \]

2. Проведем тестирование знаков в окрестностях найденной точки: - Для \( x < 1 \), возьмем \( x = 0 \): \[ y' = 4(0)^3 - 4 = -4 \] Значит, производная отрицательна, следовательно, функция убывает на интервале \( (-\infty, 1) \). - Для \( x > 1 \), возьмем \( x = 2 \): \[ y' = 4(2)^3 - 4 = 28 \] Значит, производная положительна, следовательно, функция возрастает на интервале \( (1, +\infty) \).

Вывод

Таким образом, функция \( y = x^4 - 4x + 4 \) убывает на интервале \( (-\infty, 1) \) и возрастает на интервале \( (1, +\infty) \).