Question

Прогрессия!!! Даю 500 баллов. Только с объяснением!!!В арифметической прогрессии шестой член равен 10, а сумма второго и восьмого членов равна 12.Cумма первых двенадцати членов прогрессии равна _____ .

Answer 1

Составим систему :
$> === Мы знаем что : <img src=$, значит:
$a_6 = a_1 + 5d \\ a_2 = a_1 + d \\ a_8 = a_1 + 7d$
===
Подставляем в систему:
$\\ \left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {a_1 + d + a_1 + 7d = 12}} \right.$
===
$\left \{ {{a_1 + 5d = 10} \atop {2a_1 + 8d = 12 | / 2}} \right.$
===
$\left \{ {{a_1 + 5d = 10 } \atop {a_1 + 4d = 6}} \right.$
===
Вычитаем второе уравнение системы из первого:
$a_1 - a_1 + 5d - 4d = 10 - 6 \\ d = 4$
===
Находим первый и двенадцатый член:
Нам известен шестой член , значит из него мы можем найти и первый.
$a_6 = a_1 + 5d \\ a_1 = a_6 - 5d \\ a_1 = 10 - 5*4 = 10 - 20 = -10$
Найдём двенадцатый член:
$a_12 = a_1 + 11d \\ a_12 = -10 + 11 * 4 = -10 + 44 = 34$
Найдём сумму двенадцати членов:
$\\ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \\ \\ S_12 = \frac{(-10 + 34)*12}{2} = 24 * 6 = 144$
Ответ: 144

Answer 2

Для решения этой задачи, нам нужно использовать формулы арифметической прогрессии:

1. Формула общего члена арифметической прогрессии: a_n = a_1 + (n-1)d где a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, n - номер члена прогрессии, d - разность прогрессии.

2. Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n = (n/2)(a_1 + a_n) где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

Используем данные из условия задачи:

a_6 = 10 a_2 + a_8 = 12

Так как a_6 = a_1 + 5d = 10, а_2 = a_1 + d, а_8 = a_1 + 7d, то мы можем составить систему уравнений:

a_1 + 5d = 10 a_1 + d + a_1 + 7d = 12

Решаем систему уравнений и находим a_1 и d: a_1 = 2 d = 2

Теперь находим сумму первых двенадцати членов прогрессии:

S_12 = (12/2)(2 + a_12) S_12 = 6*(2 + 11*2) S_12 = 6*(2 + 22) S_12 = 6*24 S_12 = 144

Итак, сумма первых двенадцати членов прогрессии равна 144. Получаем 500 баллов за подробное объяснение.