Question

Решить интеграл X+7 ------------- dx x^2+x+5

Answer 1

Смотри во вложении.

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод частичной дробей. Этот метод позволяет разложить дробь на сумму простых дробей, что позволяет нам найти интеграл.

Разложение на простые дроби

Для начала, разложим дробь на простые дроби. Представим дробь в следующей форме:

(X^7) / (x^2 + x + 5) = A / (x - x1) + B / (x - x2) + C / (x - x3) + ...

где A, B, C, ... - константы, а x1, x2, x3, ... - корни знаменателя x^2 + x + 5.

Для нахождения этих констант, умножим обе части уравнения на знаменатель и приведем его к общему знаменателю:

X^7 = A * (x - x2) * (x - x3) + B * (x - x1) * (x - x3) + C * (x - x1) * (x - x2) + ...

Затем, чтобы найти константы A, B, C, ..., мы можем подставить значения x1, x2, x3, ... в это уравнение и решить получившуюся систему уравнений.

Вычисление интеграла

После того, как мы найдем константы A, B, C, ..., мы можем заменить исходную дробь суммой простых дробей:

(X^7) / (x^2 + x + 5) = A / (x - x1) + B / (x - x2) + C / (x - x3) + ...

Теперь мы можем интегрировать каждую простую дробь по отдельности. Интеграл от каждой простой дроби A / (x - x1), B / (x - x2), C / (x - x3), ... будет легко вычислимым.

Учитывая, что интеграл от простой дроби A / (x - x1) равен ln|x - x1|, где ln - натуральный логарифм, получим:

∫ [(X^7) / (x^2 + x + 5)] dx = A * ln|x - x1| + B * ln|x - x2| + C * ln|x - x3| + ... + C1

где C1 - постоянная интегрирования.

Заключение

Таким образом, решение данного интеграла включает разложение на простые дроби, вычисление констант и интегрирование каждой простой дроби по отдельности. Обратите внимание, что значения x1, x2, x3, ... и константы A, B, C, ... могут быть найдены при помощи факторизации и решения системы уравнений или других методов, в зависимости от характеристик знаменателя x^2 + x + 5.