Question

Материальная точка имеет скорость, которая выражается формулой V = 4t3 + 4t . Определить путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения.

Answer 1

$x(t)=\int v(t) dt \\\\ \int\limits^2_0 {(4t^3+4t)} \, dt=t^4+2t^2=(4*2^3+4*2)-(4*0^3+4*0)= \\\\=40$

Answer 2

Для определения пути, пройденного точкой за 2 секунды от начала движения, мы можем использовать формулу для определения пути по скорости. Формула для определения пути (S) в зависимости от времени (t) и скорости (V) выглядит следующим образом:

S = ∫(V)dt

В данном случае, у нас есть выражение для скорости V = 4t^3 + 4t. Чтобы найти путь, пройденный точкой за 2 секунды, мы должны вычислить определенный интеграл от 0 до 2 (так как начало движения происходит в момент времени t=0).

S = ∫[0 to 2] (4t^3 + 4t) dt

Для вычисления этого интеграла, сначала нам нужно найти первообразную (антипроизводную) для функции скорости V. Выполняя интегрирование, получаем:

S = ∫[0 to 2] (4t^3 + 4t) dt = t^4 + 2t^2 |[0 to 2]

Теперь, подставляя значения верхнего и нижнего пределов интегрирования (2 и 0 соответственно), мы можем вычислить путь, пройденный точкой за 2 секунды:

S = (2^4 + 2*2^2) - (0^4 + 2*0^2) = 16 + 8 - 0 = 24

Таким образом, путь, пройденный точкой за 2 секунды от начала движения, составляет 24 единицы (или единицы измерения, предоставленные в задаче, например, метры).