Question

У трикутнику ABC, один з кутів якого дорівнює 48 градусів, довжини сторін задовольняють співвідношення (a-d)(a+c)2+bc(a+c)=ab2 . Виразіть уградусах величини двох інших кутів цього трикутника. .

Answer 1

 Вчера по этой идее решал но   ошибся в вычислениях 
$(a-c)(a+c)^2+bc(a+c)=ab^2\\ (a^2-c^2)(a+c)+bc(a+c)=ab^2\\ (a+c)(a^2-c^2+bc)=ab^2\\ (c-b+a)(a^2+ab-c^2)=0 \\\\ c=b-a>0\\ c=\sqrt{a^2+ab}>0$
$1)c=b-a\\ 2)c=\sqr{a^2+ab}$
Рассмотрим случаи  , когда угол $48а$ лежит против стороны $c$    
По теореме косинусов 
$c^2=a^2+b^2-2ab*cos48$  
Положим первое равенство, с выражения $c=b-a$, получим 
$b^2-2ab+a^2=a^2+b^2-2ab*cos48\\ 2ab(cos48-1)=0\\ a \neq 0\\ b \neq 0\\ cos48 \neq 1$ 
 не подходит     $2$ случаи 
 $a^2+ab=a^2+b^2-2ab*cos48\\ ab=b^2-2ab*cos48\\ a=b-2a*cos48\\ b=a(1+2cos48)\\ c=\sqrt{a^2+a*a(1+2cos48)}=2a*cos24\\\\ a+b>c\\ a+c>b\\ b+c>a$ при этом неравенство  выполняется 
 По теореме синусов 
$\frac{2a*cos24а}{sin84а}=\frac{a}{sinb}\\ b=arcsin(\frac{sin48а}{2cos24а})=24а$  
третий угол $180-24-48=108$ всего
 $24;108;48$
 
Положим что $48а$  лежит против   стороны $b$  
 $a^2=a^2+c^2-2ac*cos48\\ b^2=2a^2+ab-2a*\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b^2-ab=2a^2-2a\sqrt{a^2+ab}*cos48\\ b=a+2a*cos96 \\ c=2a*cos48\\\\ \frac{a}{sin48} = \frac{a+2a*cos96}{sinb}\\ b=36а$
 $36;48;96$   

Положим что  против стороны $a$ 
  $a^2=b^2+c^2-2bc*cos48\\ a^2=b^2+a^2+ab-2b\sqrt{a^2+ab}*cos48 \\ b=2acos96+a\\ c=2a*cos48\\\\ a+b>c\\ b+c>a\\ a+c>b$ 
 при это неравенство треугольников  , выполняется 
    
 $\frac{1}{sin48} = \frac{2cos96+1}{sinb}\\ b=arcsin((2cos96+1)*sin48)=36а$ 
 $180-36-48=96$
    
 

Answer 2

Заменим  для   удобства a+c=t
(a-c)*t^2+bc*t-ab^2=0
Решим   уравнение относительно t:
D=b^2*c^2+4(a-c)*ab^2=b^2c^2+4*a^2*b^2-4cab^2 можно  заметить  что  это   полный   квадрат:
D=(2ab-bc)^2 
но  в  любом  случае
t=(-bc+-|2ab-bc|)/2(a-c)
с каким  бы  знаком не   раскрылся  модуль в силу симетрии знаков +- перед модулем то  в  любом случае   будет только 2   одних и  тех же решения:
t=(-bc+-(2ab-bc))/(2(a-c)

1)t=(2ab-2bc)/2(a-c)=b
a+c=b ,но  по  неравенству  треугольника это  невозможно.
2)  t=(-bc-2ab+bc)/(2(a-c)
a+c=ab/(c-a)    Откуда ярко видно   что с>a
c^2-a^2=ab
Запишем   теорему косинусов:
a^2+b^2-2ab*cosA=c^2
b^2-2ab*cosA=c^2-a^2=ab
  b-2a*cosA=a     b=a+2a*cosA   b=a(1+2cosA)  cosA=(b-a)/2a=b/2a -1/2
c^2+b^2-2bc*cosB=a^2
с^2-a^2=2bc*cosB-b^2
ab=2bc*cosB-b^2
a=2с*сosB-b
сosB=(a+b)/2c
c=sqrt(ab+a^2)
cosB=(a+b)/(2sqrt(ab+a^2)
cos^2B= (a+b)^2/4(ab+a^2)=(a+b)^2/4(a+b)a=(a+b)/4a=b/4a+1/4
2*cos^2B=b/2a +1/2
cosA=b/2a -1/2
Вычетая  поочленно  получим:
2*сos^2B-cosA=1
cosA=2*cos^2B-1=cos2B
сosA=cos2B (но   тк это углы треугольника),то
  A=2B
Один   из углов  48
Тогда   рассмотрим 3   варианта
1)48+3x=180
x=44
Искомые углы:48,44,88
2)48+96+x=180
Углы 48,96,36
3)24+48+x=180
Углы 24,48,108
Теперь самое сложное нужно понять какой из этих вариантов подходит
второй вариант не   подходит   тк в   нем  второй угол   тупой
CosB=96<0
но   (a+b)/2c>0 ,то   есть такое невозможно
Насчет   того 1  или второй вариант  пока не знаю. Потом   подумаю
Пока   предварительно   ответ   таков:  или  48,44,88 или 24,48,108  не   исключено   что оба варианта подходят
Да  думаю что  скорее   всего оба





 

Answer 3

Для вирішення цього завдання, спочатку нам потрібно розібратися зі співвідношенням між сторонами трикутника, а потім знайти значення двох інших кутів.

Рівняння між сторонами трикутника

Записане співвідношення між сторонами трикутника можна переписати у вигляді:

(a - d)(a + c)2 = bc(a + c) - ab2

Знаходження значень сторін

Ми можемо спростити це рівняння, розкривши дужки:

(a^2 - d^2)(a + c) = a(bc + bc - b^2)

(a^3 + ac^2 - ad^2 - cd^2) = 2abc - ab^2

Знаходження значення двох інших кутів

Тепер, коли ми маємо вираз для сторін трикутника, ми можемо знайти значення двох інших кутів. Загальна сума кутів в будь-якому трикутнику дорівнює 180 градусів. Отже, ми можемо записати рівняння:

48 + x + y = 180

де x та y - шукані кути.

Ми можемо спростити це рівняння, віднімаючи 48 від обох боків:

x + y = 132

Таким чином, сума двох інших кутів цього трикутника дорівнює 132 градуси. Щоб знайти кожен з кутів окремо, нам потрібно знайти значення одного з них, наприклад, x або y, і потім використати це значення, щоб знайти інший кут.

Висновок

Отже, сума двох інших кутів трикутника ABC дорівнює 132 градуси. Для знаходження конкретних значень цих кутів потрібно мати додаткову інформацію про трикутник, наприклад, довжини сторін або значення одного з кутів.